/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 3131707

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 5. Punkt F = (3,11) jest środkiem odcinka CD . Prosta o równaniu y = − 43x + 15 jest osią symetrii tego trapezu oraz ( ) B = 23,8 2 . Oblicz współrzędne wierzchołka A oraz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Kluczowe w tym zadaniu jest zauważanie, że nie musimy wyznaczać współrzędnych punktów C i D . Rzeczywiście, do obliczenia wysokości trapezu wystarczy nam punkt F , a długość podstawy CD mamy podaną. To znaczenie uprasza rozwiązanie.

Podana oś symetrii trapezu jest prostopadła do jego podstaw, więc obie podstawy muszą mieć równania postaci y = 34x + b . Wyznaczmy równanie podstawy AB – podstawiamy współrzędne punktu B

3- 2-3 6-9 5- 8 = 4 ⋅ 2 + b ⇒ b = 8 − 8 = − 8 .

Podstawa AB ma więc równanie y = 3x − 5 4 8 . Wyznaczmy teraz środek E tej podstawy – jest to punkt wspólny prostych AB i danej osi symetrii.

{ 3 5 y = 4x − 8 y = − 4x + 15 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 3-x + 4x − 5-− 15 4 3 8 5- -9- 16- 1 5+ 8 = 1 2x + 12 x 1 25 2 5 125 12 1 5 ---- = ---x ⇒ x = ----⋅ ---= ---. 8 1 2 8 25 2

Stąd

4 4 15 y = − -x + 15 = − --⋅---+ 1 5 = − 10 + 15 = 5 3 3 2

i ( 15 ) E = 2 ,5 . To pozwala łatwo obliczyć współrzędne punktu A , bo E jest środkiem odcinka AB .

A + B E = ------- 2 ( ) ( ) 2E = A + B ⇒ A = 2E − B = (15,10) − 23,8 = 7-,2 . 2 2

Obliczamy teraz wysokość trapezu ABCD .

∘ (--------)-------------- ∘ -------- ∘ ---- 15 2 2 81 2 25 1 5 h = EF = 3 − -2- + (11 − 5) = -4-+ 36 = --4- = -2-.

Obliczamy jeszcze długość podstawy AB .

∘ ----------------------- ( ) 2 √ -------- AB = 23-− 7- + (8 − 2)2 = 6 4+ 36 = 10. 2 2

Pole trapezu ABCD jest więc równe

PABCD = AB-+--CD--⋅h = 10+--5-⋅ 15-= 225-. 2 2 2 4

 
Odpowiedź: ( ) A = 72,2 , PABCD = 2245

Wersja PDF