Zadanie nr 4392512
Odcinek o końcach i jest podstawą trapezu . Druga podstawa o środku w punkcie jest dwa razy dłuższa od podstawy AB. Wyznacz współrzędne wierzchołków i . Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy najpierw, że wiemy jaka jest długość podstawy
W takim razie punkty i leżą na okręgu o środku i promieniu , czyli na okręgu
Oczywiście leżą one też na prostej równoległej do i przechodzącej przez . Aby napisać równanie tej prostej, piszemy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Z pierwszego równania mamy . W takim razie prosta ma równanie postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .
Zatem prosta ma równanie . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z wcześniej wyznaczonym okręgiem (podstawiamy do równania okręgu).
Mamy wtedy odpowiednio i . Zatem i .
Aby obliczyć wysokość trapezu wystarczy obliczyć odległość punktu od prostej . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :
W naszej sytuacji mamy
Pole trapezu jest więc równe
Odpowiedź: , pole: .