Odcinek o końcach A=(2, 3) i B=(0, 5) jest podstawą trapezu ABCD.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 4392512

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 4392512

Odcinek o końcach $A = (2,3)$ i $B = (0,5)$ jest podstawą trapezu $ABCD$ . Druga podstawa o środku w punkcie $S = (− 2,1)$ jest dwa razy dłuższa od podstawy AB. Wyznacz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ . Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Zauważmy najpierw, że wiemy jaka jest długość podstawy $CD$

∘ ------------------- √ ------ √ -- CD = 2AB = 2 (0− 2)2 + (5 − 3 )2 = 2 4+ 4 = 4 2.

W takim razie punkty $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $√ -- 2 2$ , czyli na okręgu

2 2 (x + 2) + (y − 1) = 8.

Oczywiście leżą one też na prostej równoległej do $AB$ i przechodzącej przez $S$ . Aby napisać równanie tej prostej, piszemy najpierw równanie prostej $AB$ . Szukamy prostej w postaci $y = ax + b$ i podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ .

{ 3 = 2a + b 5 = b.

Z pierwszego równania mamy $a = 3−b-= − 1 2$ . W takim razie prosta $CD$ ma równanie postaci $y = −x + b$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $S$ .

1 = 2+ b ⇒ b = − 1.

Zatem prosta $CD$ ma równanie $y = −x − 1$ . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z wcześniej wyznaczonym okręgiem (podstawiamy $y = −x − 1$ do równania okręgu).

2 2 (x + 2 ) + (−x − 1 − 1) = 8 2 (x + 2)2 = 8 2 (x + 2 ) = 4 x + 2 = − 2 ∨ x + 2 = 2 x = − 4 ∨ x = 0 .

Mamy wtedy odpowiednio $y = −x − 1 = 3$ i $y = −x − 1 = −1$ . Zatem $C = (0,− 1)$ i $D = (− 4,3)$ .

Aby obliczyć wysokość trapezu wystarczy obliczyć odległość punktu $B$ od prostej $CD$ . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $P = (x0,y0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ :