Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4392512

Odcinek o końcach A = (2,3) i B = (0,5) jest podstawą trapezu ABCD . Druga podstawa o środku w punkcie S = (− 2,1) jest dwa razy dłuższa od podstawy AB. Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy najpierw, że wiemy jaka jest długość podstawy CD

 ∘ ------------------- √ ------ √ -- CD = 2AB = 2 (0− 2)2 + (5 − 3 )2 = 2 4+ 4 = 4 2.

W takim razie punkty C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu  √ -- 2 2 , czyli na okręgu

 2 2 (x + 2) + (y − 1) = 8.

Oczywiście leżą one też na prostej równoległej do AB i przechodzącej przez S . Aby napisać równanie tej prostej, piszemy najpierw równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 3 = 2a + b 5 = b.

Z pierwszego równania mamy a = 3−b-= − 1 2 . W takim razie prosta CD ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S .

1 = 2+ b ⇒ b = − 1.

Zatem prosta CD ma równanie y = −x − 1 . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z wcześniej wyznaczonym okręgiem (podstawiamy y = −x − 1 do równania okręgu).

 2 2 (x + 2 ) + (−x − 1 − 1) = 8 2 (x + 2)2 = 8 2 (x + 2 ) = 4 x + 2 = − 2 ∨ x + 2 = 2 x = − 4 ∨ x = 0 .

Mamy wtedy odpowiednio y = −x − 1 = 3 i y = −x − 1 = −1 . Zatem C = (0,− 1) i D = (− 4,3) .

Aby obliczyć wysokość trapezu wystarczy obliczyć odległość punktu B od prostej CD . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

 √ -- h = |5-+-0-+-1| = √6--= 3 2. 1 + 1 2

Pole trapezu jest więc równe

 √ -- √ -- P = AB--+-CD--⋅ h = 6--2-⋅3 2 = 18. 2 2

 
Odpowiedź: C = (0,− 1), D = (−4 ,3) , pole: P = 18 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!