Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4417558

Punkty B = (3,12) , C = (− 14,19 ) i D = (−2 1,12) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD , który nie jest równoległobokiem, i w którym AB ∥ CD . Oblicz współrzędne wierzchołka A tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.


PIC


Plan jest taki: napiszemy równanie prostej CD , potem równanie prostej AB i na prostej AB znajdziemy punkt A taki, że AD = BC .

Do dzieła. Szukamy równania prostej CD w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów C i D .

{ 19 = − 14a + b 12 = − 21a + b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

7 = 7a ⇒ a = 1.

Współczynnik b nie jest nam potrzebny. Teraz wyznaczamy prostą AB – jest ona równoległa do CD , więc ma równanie postaci y = x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

12 = 3 + b ⇒ b = 9.

W takim razie prosta AB ma równanie postaci y = x+ 9 i współrzędne punktu A mają postać A = (x,x+ 9) . Wiemy ponadto, że trapez jest równoramienny, więc

 2 2 DA = BC (x+ 21)2 + (x+ 9− 12)2 = (− 14 − 3)2 + (19 − 12)2 2 2 x + 42x + 441 + x − 6x + 9 = 289 + 49 2x2 + 36x + 112 = 0 / : 4 1x 2 + 9x + 2 8 = 0 2 Δ = 8 1− 56 = 25 x = − 9 − 5 = − 14 lub x = − 9+ 5 = − 4.

Zatem A = (− 14,− 14 + 9) = (− 14,− 5) lub A = (− 4,− 4+ 9) = (− 4,5) . To jeszcze nie całkiem koniec, bo z założenia trapez ma nie być równoległobokiem, czyli jego podstawy nie mogą mieć równych długości. Tymczasem, jeżeli A = (− 4,5) , to

AB 2 = (3+ 4)2 + (12− 5)2 = 49 + 49 CD 2 = (− 21+ 14)2 + (12 − 19)2 = 49 + 4 9 = AB 2.

Zatem musi być A = (− 14,− 5) . Łatwo sprawdzić, że w tym przypadku AB > CD .  
Odpowiedź: A = (− 14,− 5)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!