Zadanie nr 4417558
Punkty ,
i
są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego
, który nie jest równoległobokiem, i w którym
. Oblicz współrzędne wierzchołka
tego trapezu.
Rozwiązanie
Szkicujemy trapez.
Plan jest taki: napiszemy równanie prostej , potem równanie prostej
i na prostej
znajdziemy punkt
taki, że
.
Do dzieła. Szukamy równania prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 19 = − 14a + b 12 = − 21a + b](https://img.zadania.info/zad/4417558/HzadR10x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
![7 = 7a ⇒ a = 1.](https://img.zadania.info/zad/4417558/HzadR11x.gif)
Współczynnik nie jest nam potrzebny. Teraz wyznaczamy prostą
– jest ona równoległa do
, więc ma równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![12 = 3 + b ⇒ b = 9.](https://img.zadania.info/zad/4417558/HzadR18x.gif)
W takim razie prosta ma równanie postaci
i współrzędne punktu
mają postać
. Wiemy ponadto, że trapez jest równoramienny, więc
![2 2 DA = BC (x+ 21)2 + (x+ 9− 12)2 = (− 14 − 3)2 + (19 − 12)2 2 2 x + 42x + 441 + x − 6x + 9 = 289 + 49 2x2 + 36x + 112 = 0 / : 4 1x 2 + 9x + 2 8 = 0 2 Δ = 8 1− 56 = 25 x = − 9 − 5 = − 14 lub x = − 9+ 5 = − 4.](https://img.zadania.info/zad/4417558/HzadR23x.gif)
Zatem lub
. To jeszcze nie całkiem koniec, bo z założenia trapez ma nie być równoległobokiem, czyli jego podstawy nie mogą mieć równych długości. Tymczasem, jeżeli
, to
![AB 2 = (3+ 4)2 + (12− 5)2 = 49 + 49 CD 2 = (− 21+ 14)2 + (12 − 19)2 = 49 + 4 9 = AB 2.](https://img.zadania.info/zad/4417558/HzadR27x.gif)
Zatem musi być . Łatwo sprawdzić, że w tym przypadku
.
Odpowiedź: