Zadanie nr 5521273
Przedłużenia ramion i
trapezu równoramiennego
przecinają się w punkcie
. Wyznacz współrzędne wierzchołków
i
tego trapezu, jeżeli
i
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Sposób I
Wiemy, że trapez jest równoramienny, więc
![∘ ------------------------- ∘ --------- ∘ ---- SD--= SC--= ∘--(−-9-+-14)2-+-(14-−-15)2--= -2-5+--1- = 2-6-= 1. SA SA (− 8 + 14)2 + (− 15 − 15)2 36 + 9 00 936 6](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR1x.gif)
To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołków i
. Najpierw wierzchołek
.
![−S→D = 1-−S→A = 1[6,− 30] = [1,− 5] 6 6 −→ D = S + SD = (− 1 4,15)+ [1 ,− 5 ] = (− 13 ,10).](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR5x.gif)
Teraz wierzchołek .
![−→ −→ SB = 6SC = 6[5,− 1] = [30,− 6] −→ B = S + SB = (− 14,15 )+ [30,− 6] = (16,9 ).](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR7x.gif)
Sposób II
Tym razem spróbujemy obejść się bez wektorów. Piszemy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 15 = − 14a + b − 15 = − 8a + b.](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR12x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
![30 = −6a ⇒ a = − 5.](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR13x.gif)
Stąd i prosta
ma równanie
. Szukamy teraz na tej prostej punktu
takiego, że
![SD 2 = SC 2 (x+ 14)2 + (− 5x− 55− 15)2 = (− 9 + 14)2 + (14 − 15)2 2 2 (x+ 14) + 25(x + 14) = 2 5+ 1 / : 26 (x+ 14)2 = 1 ⇐ ⇒ (x = − 13 ∨ x = − 15).](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR18x.gif)
Łatwo zauważyć, że jeżeli , to punkty
i
są po różnych stronach punktu
, co nie jest możliwe. Zatem
,
i
.
Zupełnie analogicznie możemy wyznaczyć współrzędne punktu , ale dla urozmaicenia zrobimy to inaczej – wyznaczymy
jako punkt wspólny prostych
i
. Piszemy najpierw równanie prostej
– szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
![{ 15 = − 14a + b 14 = − 9a+ b](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR34x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
![1 − 1 = 5a ⇒ a = − -. 5](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR35x.gif)
Stąd i prosta
ma równanie
.
Współczynnik kierunkowy prostej jest taki sam jak współczynnik kierunkowy prostej
, czyli jest równy
![a = yC-−-yD--= -14-−-10-= 1. xC − xD − 9 + 13](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR41x.gif)
Prosta ma więc równanie postaci
. Współczynnik
obliczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![− 15 = − 8 + b ⇒ b = −7 .](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR46x.gif)
Prosta ma więc równanie
. Pozostało wyznaczyć jej punkt wspólny
z prostą
. Podstawiamy
w równaniu prostej
.
![1- 61- x − 7 = − 5 x+ 5 6 96 -x = --- ⇒ x = 16 . 5 5](https://img.zadania.info/zad/5521273/HzadR53x.gif)
Stąd i
.
Odpowiedź: ,