Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5521273

Przedłużenia ramion AD i BC trapezu równoramiennego ABCD przecinają się w punkcie S = (− 14,15 ) . Wyznacz współrzędne wierzchołków B i D tego trapezu, jeżeli A = (− 8,− 15) i C = (− 9,14) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Sposób I

Wiemy, że trapez jest równoramienny, więc

 ∘ ------------------------- ∘ --------- ∘ ---- SD--= SC--= ∘--(−-9-+-14)2-+-(14-−-15)2--= -2-5+--1- = 2-6-= 1. SA SA (− 8 + 14)2 + (− 15 − 15)2 36 + 9 00 936 6

To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i D . Najpierw wierzchołek D .

−S→D = 1-−S→A = 1[6,− 30] = [1,− 5] 6 6 −→ D = S + SD = (− 1 4,15)+ [1 ,− 5 ] = (− 13 ,10).

Teraz wierzchołek B .

−→ −→ SB = 6SC = 6[5,− 1] = [30,− 6] −→ B = S + SB = (− 14,15 )+ [30,− 6] = (16,9 ).

Sposób II

Tym razem spróbujemy obejść się bez wektorów. Piszemy najpierw równanie prostej SA . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S i A .

{ 15 = − 14a + b − 15 = − 8a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

30 = −6a ⇒ a = − 5.

Stąd b = 15 + 14a = − 55 i prosta SA ma równanie y = − 5x − 55 . Szukamy teraz na tej prostej punktu D = (x ,−5x − 55) takiego, że

 SD 2 = SC 2 (x+ 14)2 + (− 5x− 55− 15)2 = (− 9 + 14)2 + (14 − 15)2 2 2 (x+ 14) + 25(x + 14) = 2 5+ 1 / : 26 (x+ 14)2 = 1 ⇐ ⇒ (x = − 13 ∨ x = − 15).

Łatwo zauważyć, że jeżeli x = − 15 , to punkty A i D są po różnych stronach punktu S , co nie jest możliwe. Zatem x = − 13 , y = − 5x − 55 = 1 0 i D = (− 13 ,1 0) .

Zupełnie analogicznie możemy wyznaczyć współrzędne punktu B , ale dla urozmaicenia zrobimy to inaczej – wyznaczymy B jako punkt wspólny prostych SC i AB . Piszemy najpierw równanie prostej SC – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S i C

{ 15 = − 14a + b 14 = − 9a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 1 − 1 = 5a ⇒ a = − -. 5

Stąd b = 14 + 9a = 14− 9 = 61 5 5 i prosta SC ma równanie y = − 1x + 61- 5 5 .

Współczynnik kierunkowy prostej AB jest taki sam jak współczynnik kierunkowy prostej DC , czyli jest równy

a = yC-−-yD--= -14-−-10-= 1. xC − xD − 9 + 13

Prosta AB ma więc równanie postaci y = x + b . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu A .

− 15 = − 8 + b ⇒ b = −7 .

Prosta AB ma więc równanie y = x − 7 . Pozostało wyznaczyć jej punkt wspólny B z prostą SC . Podstawiamy y = x− 7 w równaniu prostej SC .

 1- 61- x − 7 = − 5 x+ 5 6 96 -x = --- ⇒ x = 16 . 5 5

Stąd y = x − 7 = 9 i B = (1 6,9) .  
Odpowiedź: B = (16,9) , D = (−1 3,10)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!