Zadanie nr 6463995

Trapez równoramienny ABCD o podstawach i jest opisany na okręgu o równaniu x 2 + y2 = 10x − 6y − 9 . Okrąg ten przecina boki i tego trapezu odpowiednio w punktach E = (8,1) i F = (2,1) . Oblicz współrzędne wierzchołków A ,B,C i tego trapezu.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu tak, żeby było widać jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y = 10x − 6y − 9 (x 2 − 1 0x+ 25) + (y2 + 6y + 9) = 25 + 9 − 9 (x − 5)2 + (y + 3 )2 = 52.

Jest to więc okrąg o środku S = (5 ,−3 ) i promieniu r = 5 . Szkicujemy opisaną sytuację.

Trapez równoramienny posiada oś symetrii – jest to prosta przechodząca przez środki i podstaw i . Prosta ta jest też oczywiście osią symetrii okręgu wpisanego w trapez, więc jest średnicą tego okręgu. To pozwala łatwo łatwo wyznaczyć współrzędne punktu .

F + G S = ------ ⇒ G = 2S − F = (10 ,−6 )− (2 ,1 ) = (8,− 7). 2

W kolejnym kroku napiszemy równania podstaw i – są to proste prostopadłe do F G i przechodzące odpowiednio przez i . Zanim to jednak zrobimy, wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 1 = 2a+ b − 7 = 8a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

8- 4- 8 = − 6a ⇒ a = − 6 = − 3.

W takim razie każda z podstaw i ma równanie postaci y = 3x + b 4 . Podstawiamy najpierw współrzędne punktu .

− 7 = 6 + b ⇒ b = − 13 .

Podstawa ma więc równanie 3 y = 4x − 1 3 . Teraz podstawiamy współrzędne punktu .

3 1 1 = --+ b ⇒ b = − --. 2 2

Podstawa ma więc równanie 3 1 y = 4x − 2 .

Teraz wyznaczymy równanie prostej – jest to prosta prostopadła do i przechodząca przez . Możemy to zrobić dokładnie tak samo jak wcześniej – pisząc najpierw równanie prostej . Dla urozmaicenia zrobimy to jednak prościej – korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)