Zadanie nr 6463995
Trapez równoramienny o podstawach
i
jest opisany na okręgu o równaniu
. Okrąg ten przecina boki
i
tego trapezu odpowiednio w punktach
i
. Oblicz współrzędne wierzchołków
i
tego trapezu.
Rozwiązanie
Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu tak, żeby było widać jaki jest jego środek i promień.
![2 2 x + y = 10x − 6y − 9 (x 2 − 1 0x+ 25) + (y2 + 6y + 9) = 25 + 9 − 9 (x − 5)2 + (y + 3 )2 = 52.](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR0x.gif)
Jest to więc okrąg o środku i promieniu
. Szkicujemy opisaną sytuację.
Trapez równoramienny posiada oś symetrii – jest to prosta przechodząca przez środki i
podstaw
i
. Prosta ta jest też oczywiście osią symetrii okręgu wpisanego w trapez, więc
jest średnicą tego okręgu. To pozwala łatwo łatwo wyznaczyć współrzędne punktu
.
![F + G S = ------ ⇒ G = 2S − F = (10 ,−6 )− (2 ,1 ) = (8,− 7). 2](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR10x.gif)
W kolejnym kroku napiszemy równania podstaw i
– są to proste prostopadłe do
i przechodzące odpowiednio przez
i
. Zanim to jednak zrobimy, wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej
. Szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 1 = 2a+ b − 7 = 8a+ b](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR20x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
![8- 4- 8 = − 6a ⇒ a = − 6 = − 3.](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR21x.gif)
W takim razie każda z podstaw i
ma równanie postaci
. Podstawiamy najpierw współrzędne punktu
.
![− 7 = 6 + b ⇒ b = − 13 .](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR26x.gif)
Podstawa ma więc równanie
. Teraz podstawiamy współrzędne punktu
.
![3 1 1 = --+ b ⇒ b = − --. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR30x.gif)
Podstawa ma więc równanie
.
Teraz wyznaczymy równanie prostej – jest to prosta prostopadła do
i przechodząca przez
. Możemy to zrobić dokładnie tak samo jak wcześniej – pisząc najpierw równanie prostej
. Dla urozmaicenia zrobimy to jednak prościej – korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora
i przechodzącej przez punkt
![p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR39x.gif)
W naszej sytuacji mamy
![→v = −S→E = E − S = [8 − 5 ,1 + 3 ] = [3,4]](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR40x.gif)
i . Prosta
ma więc równanie
![0 = 3(x− 8)+ 4(y− 1) = 3x + 4y − 2 8 y = − 3x + 7. 4](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR43x.gif)
Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej i prostej
.
![{ 3 y = − 4x + 7 y = 34x − 13](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR46x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
![3- 40- 0 = 2 x − 20 ⇒ x = 3 .](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR47x.gif)
Stąd i
.
Teraz szukamy punktu wspólnego prostych
i
.
![{ 3 y = − 4x + 7 y = 3x − 1 4 2](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR53x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
![3 15 0 = 2x − 2-- ⇒ x = 5.](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR54x.gif)
Stąd i
.
Teraz już jest łatwo – punkty i
wyznaczamy ze wzoru na środek odcinka.
![( ) ( ) F = C-+--D- ⇒ D = 2F − C = (4,2) − 5, 13 = − 1,− 5- 2 4 4 ( ) ( ) G = A-+--B- ⇒ A = 2G − B = (16,− 14 )− 40-,− 3 = 8,− 11 . 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/6463995/HzadR59x.gif)
Odpowiedź: ,
,
,