Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6463995

Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o równaniu x 2 + y2 = 10x − 6y − 9 . Okrąg ten przecina boki BC i CD tego trapezu odpowiednio w punktach E = (8,1) i F = (2,1) . Oblicz współrzędne wierzchołków A ,B,C i D tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu tak, żeby było widać jaki jest jego środek i promień.

 2 2 x + y = 10x − 6y − 9 (x 2 − 1 0x+ 25) + (y2 + 6y + 9) = 25 + 9 − 9 (x − 5)2 + (y + 3 )2 = 52.

Jest to więc okrąg o środku S = (5 ,−3 ) i promieniu r = 5 . Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Trapez równoramienny posiada oś symetrii – jest to prosta przechodząca przez środki F i G podstaw CD i AB . Prosta ta jest też oczywiście osią symetrii okręgu wpisanego w trapez, więc FG jest średnicą tego okręgu. To pozwala łatwo łatwo wyznaczyć współrzędne punktu G .

 F + G S = ------ ⇒ G = 2S − F = (10 ,−6 )− (2 ,1 ) = (8,− 7). 2

W kolejnym kroku napiszemy równania podstaw AB i CD – są to proste prostopadłe do F G i przechodzące odpowiednio przez G i F . Zanim to jednak zrobimy, wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej FG . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów F i G .

{ 1 = 2a+ b − 7 = 8a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 8- 4- 8 = − 6a ⇒ a = − 6 = − 3.

W takim razie każda z podstaw AB i CD ma równanie postaci y = 3x + b 4 . Podstawiamy najpierw współrzędne punktu G .

− 7 = 6 + b ⇒ b = − 13 .

Podstawa AB ma więc równanie  3 y = 4x − 1 3 . Teraz podstawiamy współrzędne punktu F .

 3 1 1 = --+ b ⇒ b = − --. 2 2

Podstawa CD ma więc równanie  3 1 y = 4x − 2 .

Teraz wyznaczymy równanie prostej BC – jest to prosta prostopadła do SE i przechodząca przez E . Możemy to zrobić dokładnie tak samo jak wcześniej – pisząc najpierw równanie prostej SE . Dla urozmaicenia zrobimy to jednak prościej – korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→v = −S→E = E − S = [8 − 5 ,1 + 3 ] = [3,4]

i P = E = (8 ,1 ) . Prosta BC ma więc równanie

0 = 3(x− 8)+ 4(y− 1) = 3x + 4y − 2 8 y = − 3x + 7. 4

Szukamy teraz punktu wspólnego B tej prostej i prostej AB .

{ 3 y = − 4x + 7 y = 34x − 13

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 3- 40- 0 = 2 x − 20 ⇒ x = 3 .

Stąd y = − 3x + 7 = − 3 4 i  ( ) B = 40,− 3 3 .

Teraz szukamy punktu wspólnego C prostych BC i CD .

{ 3 y = − 4x + 7 y = 3x − 1 4 2

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 3 15 0 = 2x − 2-- ⇒ x = 5.

Stąd y = 3 x− 1 = 13 4 2 4 i  ( ) C = 5 , 13 4 .

Teraz już jest łatwo – punkty A i D wyznaczamy ze wzoru na środek odcinka.

 ( ) ( ) F = C-+--D- ⇒ D = 2F − C = (4,2) − 5, 13 = − 1,− 5- 2 4 4 ( ) ( ) G = A-+--B- ⇒ A = 2G − B = (16,− 14 )− 40-,− 3 = 8,− 11 . 2 3 3

 
Odpowiedź:  (8 ) A = 3 ,− 1 1 ,  (40 ) B = 3 ,− 3 ,  ( ) 13 C = 5 ,4 ,  ( 5) D = − 1,− 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!