Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 6463995

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 6463995

Trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu o równaniu $x 2 + y2 = 10x − 6y − 9$ . Okrąg ten przecina boki $BC$ i $CD$ tego trapezu odpowiednio w punktach $E = (8,1)$ i $F = (2,1)$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $A ,B,C$ i $D$ tego trapezu.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie danego okręgu tak, żeby było widać jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y = 10x − 6y − 9 (x 2 − 1 0x+ 25) + (y2 + 6y + 9) = 25 + 9 − 9 (x − 5)2 + (y + 3 )2 = 52.

Jest to więc okrąg o środku $S = (5 ,−3 )$ i promieniu $r = 5$ . Szkicujemy opisaną sytuację.

Trapez równoramienny posiada oś symetrii – jest to prosta przechodząca przez środki $F$ i $G$ podstaw $CD$ i $AB$ . Prosta ta jest też oczywiście osią symetrii okręgu wpisanego w trapez, więc $FG$ jest średnicą tego okręgu. To pozwala łatwo łatwo wyznaczyć współrzędne punktu $G$ .

F + G S = ------ ⇒ G = 2S − F = (10 ,−6 )− (2 ,1 ) = (8,− 7). 2

W kolejnym kroku napiszemy równania podstaw $AB$ i $CD$ – są to proste prostopadłe do $F G$ i przechodzące odpowiednio przez $G$ i $F$ . Zanim to jednak zrobimy, wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej $FG$ . Szukamy prostej w postaci $y = ax + b$ i podstawiamy współrzędne punktów $F$ i $G$ .

{ 1 = 2a+ b − 7 = 8a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

8- 4- 8 = − 6a ⇒ a = − 6 = − 3.

W takim razie każda z podstaw $AB$ i $CD$ ma równanie postaci $y = 3x + b 4$ . Podstawiamy najpierw współrzędne punktu $G$ .

− 7 = 6 + b ⇒ b = − 13 .

Podstawa $AB$ ma więc równanie $3 y = 4x − 1 3$ . Teraz podstawiamy współrzędne punktu $F$ .

3 1 1 = --+ b ⇒ b = − --. 2 2

Podstawa $CD$ ma więc równanie $3 1 y = 4x − 2$ .

Teraz wyznaczymy równanie prostej $BC$ – jest to prosta prostopadła do $SE$ i przechodząca przez $E$ . Możemy to zrobić dokładnie tak samo jak wcześniej – pisząc najpierw równanie prostej $SE$ . Dla urozmaicenia zrobimy to jednak prościej – korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→ v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $P = (x0,y0)$