Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6628114

Punkty A = (1,− 2), D = (− 2,2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD . Prosta x + 2y − 7 = 0 jest osią symetrii tego trapezu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Na początku trochę trudno wyobrazić sobie jak ma wyglądać szukany trapez, ale ponieważ dana prosta nie przecina odcinka AD musi on być ramieniem trapezu, a prosta musi być osią symetrii prostopadłą do równoległych boków trapezu. W takim razie musimy znaleźć obraz odcinka AD w symetrii względem danej prostej. Zrobimy to pisząc równania prostych, które są do niej prostopadłe i przechodzą przez punkty A i D . Następnie znajdziemy na tych prostych punkty, które są odległe od danej prostej o tyle samo co punkty A i D odpowiednio.

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy  1 − 2 , więc proste do niej prostopadłe mają współczynnik kierunkowy 2. Znajdziemy teraz proste postaci y = 2x + b , które przechodzą odpowiednio przez punkty A i D . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne tych punktów.

AB : − 2 = 2+ b ⇒ b = − 4 DC : 2 = − 4+ b ⇒ b = 6 .

Zatem proste te mają odpowiednio równania y = 2x − 4 i y = 2x + 6 . Szukamy teraz punktów wspólnych tych prostych z daną prostą (od razy podstawiamy za y w jej równaniu).

x + 2(2x − 4)− 7 = 0 x + 2(2x + 6 )− 7 = 0 5x = 15 5x = − 5 x = 3 x = − 1 .

Daje to y = 2x − 4 = 2 ⋅3 − 4 = 2 oraz y = 2x + 6 = 2 ⋅(− 1)+ 6 = 4 odpowiednio. Zatem F = (3,2) i E = (− 1,4 ) . Teraz wystarczy zauważyć, że punkty E i F są środkami odcinków DC i AB odpowiednio. Zatem

E = D--+-C- F = A-+-B-- 2 ( ) 2( ) − 2+ xC 2+ yC 1 + xB − 2 + yB (− 1 ,4 ) = --------, ------- (3,2) = -------,--------- { 2 2 { 2 2 − 2 = − 2 + xC 6 = 1+ xB 8 = 2 + yC 4 = − 2+ yB { { xC = 0 xB = 5 yC = 6 yB = 6.

Zatem B = (5,6) i C = (0,6) .  
Odpowiedź: (5,6),(0,6 )

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!