Punkty A=(1,-2), D=(-2, 2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 6628114

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 6628114

Punkty $A = (1,− 2), D = (− 2,2)$ są kolejnymi wierzchołkami trapezu $ABCD$ . Prosta $x + 2y − 7 = 0$ jest osią symetrii tego trapezu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Na początku trochę trudno wyobrazić sobie jak ma wyglądać szukany trapez, ale ponieważ dana prosta nie przecina odcinka $AD$ musi on być ramieniem trapezu, a prosta musi być osią symetrii prostopadłą do równoległych boków trapezu. W takim razie musimy znaleźć obraz odcinka $AD$ w symetrii względem danej prostej. Zrobimy to pisząc równania prostych, które są do niej prostopadłe i przechodzą przez punkty $A$ i $D$ . Następnie znajdziemy na tych prostych punkty, które są odległe od danej prostej o tyle samo co punkty $A$ i $D$ odpowiednio.

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy $1 − 2$ , więc proste do niej prostopadłe mają współczynnik kierunkowy 2. Znajdziemy teraz proste postaci $y = 2x + b$ , które przechodzą odpowiednio przez punkty $A$ i $D$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne tych punktów.

AB : − 2 = 2+ b ⇒ b = − 4 DC : 2 = − 4+ b ⇒ b = 6 .

Zatem proste te mają odpowiednio równania $y = 2x − 4$ i $y = 2x + 6$ . Szukamy teraz punktów wspólnych tych prostych z daną prostą (od razy podstawiamy za $y$ w jej równaniu).

x + 2(2x − 4)− 7 = 0 x + 2(2x + 6 )− 7 = 0 5x = 15 5x = − 5 x = 3 x = − 1 .

Daje to $y = 2x − 4 = 2 ⋅3 − 4 = 2$ oraz $y = 2x + 6 = 2 ⋅(− 1)+ 6 = 4$ odpowiednio. Zatem $F = (3,2)$ i $E = (− 1,4 )$ . Teraz wystarczy zauważyć, że punkty $E$ i $F$ są środkami odcinków $DC$ i $AB$ odpowiednio. Zatem