Punkty A=(7,1) i D=(4,-2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 7137969

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 7137969

Punkty $A = (7,1)$ i $D = (4 ,−2 )$ są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego $ABCD$ . Podstawa $AB$ zawiera się w prostej o równaniu $x+ 2y− 9 = 0$ . Osią symetrii tego trapezu jest prosta o równaniu $2x − y − 3 = 0$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ trapezu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Wyznaczamy punkt $K$ przecięcia się podanych dwóch prostych

{ x + 2y − 9 = 0 2x − y − 3 = 0.

Dodajemy do pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby zredukować $y$ ) i mamy

5x − 15 = 0 ⇒ x = 3.

Z drugiego równania $y = 2 ⋅3 − 3 = 3$ , czyli $K = (3,3)$ .

Punkt $K$ jest środkiem odcinka $AB$ , więc korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy wyznaczyć współrzędne punktu $B$ .

( ) 7+--xB- 1+--yB- 2 , 2 = (3,3) { 7+x --2B-= 3 ⇒ xB = −1 1+yB-= 3 ⇒ y = 5 . 2 B

Zatem $B = (−1 ,5)$ .

Dokładnie w ten sam sposób możemy wyznaczyć współrzędne punktu $C$ , ale najpierw musimy napisać równanie prostej $CD$ . Jest to prosta równoległa do $AB$ , więc ma równanie postaci $x + 2y + b = 0$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $D$ .