Zadanie nr 7723898
Dane są punkty .
- Wyznacz punkt tak, aby czworokąt był trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku jest prosty.
- Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.
- Skoro kąt prosty ma być przy wierzchołku , a z obrazka widać, że bok nie jest prostopadły do więc równoległe muszą być boki i . Napiszemy teraz równania prostych i , a potem znajdziemy ich punkt wspólny.
Prosta jest prostopadła do i przechodzi przez punkt . Najprostszy sposób napisania równania takiej prostej to skorzystanie ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt :
W naszej sytuacji mamy , a punkt to . Zatem prosta ma równanie
Prosta jest prostopadła do , zatem jest postaci . Współczynnik wyliczamy podstawiając współrzędne punktu .
Szukamy teraz punktu wspólnego otrzymanych prostych
Porównując -ki mamy
Zatem .
Odpowiedź: - Musimy sprawdzić, czy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Liczymy
Teraz widać, że
(prawa strona jest zdecydowanie mniejsza).
Odpowiedź: Nie, nie można.