Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7723898

Dane są punkty A = (1,1), B = (9,5), C = (5,8) .

  • Wyznacz punkt D tak, aby czworokąt ABCD był trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku A jest prosty.
  • Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.


PIC


  • Skoro kąt prosty ma być przy wierzchołku A , a z obrazka widać, że bok CB nie jest prostopadły do AB więc równoległe muszą być boki AB i CD . Napiszemy teraz równania prostych AD i CD , a potem znajdziemy ich punkt wspólny.

    Prosta AD jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt A . Najprostszy sposób napisania równania takiej prostej to skorzystanie ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0) :

    p (x− x )+ q(y− y ) = 0. 0 0

    W naszej sytuacji mamy → → v = AB = [8,4] , a punkt to A . Zatem prosta AD ma równanie

    8(x− 1)+ 4(y− 1) = 0 / : 4 2x− 2+ y− 1 = 0 ⇒ y = − 2x+ 3.

    Prosta DC jest prostopadła do AD , zatem jest postaci y = 1x+ b 2 . Współczynnik b wyliczamy podstawiając współrzędne punktu C .

    8 = 1-⋅5 + b ⇒ b = 11. 2 2

    Szukamy teraz punktu wspólnego otrzymanych prostych

    { y = −2x + 3 y = 12x + 112 .

    Porównując y -ki mamy

     1- 1-1 − 2x + 3 = 2x + 2 5 5 − --= -x ⇒ x = − 1. 2 2

    Zatem y = − 2x + 3 = 5 .  
    Odpowiedź: D = (− 1,5)

  • Musimy sprawdzić, czy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Liczymy
     ∘ ------------------- √ -------- √ -- AB = (9− 1)2 + (5 − 1 )2 = 64+ 16 = 4 5 ∘ ------------------- ------- BC = (5 − 9 )2 + (8 − 5)2 = √ 1 6+ 9 = 5 ∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ -- CD = (−-1−--5)-+--(5−-8-)-= 36+ 9 = 3 5 ∘ 2 2 √ ------- √ -- AD = (− 1 − 1) + (5− 1) = 4 + 16 = 2 5.

    Teraz widać, że

     √ -- √ -- AB + CD = 7 5 ⁄= BC + AD = 5 + 2 5

    (prawa strona jest zdecydowanie mniejsza).  
    Odpowiedź: Nie, nie można.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!