Zadanie nr 8718257
Punkty są wierzchołkami trapezu równoramiennego
niebędącego równoległobokiem, w którym
.
- Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
- Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.
- Osią symetrii trapezu
jest prosta prostopadła do podstaw i przechodząca przez ich środki. Łatwo wyliczyć środek podstawy
Szukamy zatem prostej prostopadłej do
i przechodzącej przez
. Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Łatwo zauważyć (lub wyliczyć ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty), że prosta
ma równanie
. Zatem prosta prostopadła do
będzie miała równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
Zatem szukana oś symetrii ma równanie
.
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru
na równanie prostej prostopadłej do wektora
i przechodzącej przez punkt
.
W naszej sytuacji mamy
oraz
. Zatem szukana prosta ma równanie
Odpowiedź: - Wysokość trapezu jest równa odległości punktu
od prostej
, która jak już zauważyliśmy ma równanie
. Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy
Łatwo też wyliczyć długość podstawy
Odrobinę trudniej jest z podstawą
, bo wciąż nie znamy współrzędnych wierzchołka
. Spróbujemy to teraz zrobić.
Prosta
jest równoległa do
, czyli jest postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
Znajdźmy teraz jej punkt wspólny z wyznaczoną wcześniej osią symetrii trapezu, czyli środek odcinka
.
Dodając równania stronami mamy
Zatem
i środek odcinka
ma współrzędne
. Łatwo teraz wyznaczyć współrzędne punktu
Stąd
oraz
Pole trapezu jest więc równe
Odpowiedź: 6