Punkty A=(1,1), B=(5,5), C=(3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 8718257

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 8718257

Punkty $A = (1,1), B = (5,5), C = (3,5)$ są wierzchołkami trapezu równoramiennego $ABCD$ niebędącego równoległobokiem, w którym $AB ∥ CD$ .

Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.

Osią symetrii trapezu $ABCD$ jest prosta prostopadła do podstaw i przechodząca przez ich środki. Łatwo wyliczyć środek podstawy $AB$ $( ) 1+-5--1-+-5- S = 2 , 2 = (3,3).$
Szukamy zatem prostej prostopadłej do $AB$ i przechodzącej przez $S$ . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Łatwo zauważyć (lub wyliczyć ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty), że prosta $AB$ ma równanie $y = x$ . Zatem prosta prostopadła do $AB$ będzie miała równanie postaci $y = −x + b$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $S$ .
$3 = − 3 + b ⇒ b = 6.$
Zatem szukana oś symetrii ma równanie $y = −x + 6$ .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru
$p(x − x0) + q(y − y0) = 0$
na równanie prostej prostopadłej do wektora $→v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$ .
W naszej sytuacji mamy
$→ → v = AB = [5− 1,5− 1] = [4,4]$
oraz $(x 0,y0) = (3,3)$ . Zatem szukana prosta ma równanie
$4(x − 3)+ 4 (y− 3) = 0 / : 4 x + y − 6 = 0.$

Odpowiedź: $y = −x + 6$
Wysokość trapezu jest równa odległości punktu $C$ od prostej $AB$ , która jak już zauważyliśmy ma równanie $y − x = 0$ . Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy $-|5-−-3|- -2-- √ -- h = √ 1-+-1-= √ 2-= 2.$
Łatwo też wyliczyć długość podstawy $AB$
$∘ ------------------- √ --- √ -- AB = (5− 1)2 + (5− 1)2 = 32 = 4 2 .$
Odrobinę trudniej jest z podstawą $CD$ , bo wciąż nie znamy współrzędnych wierzchołka $D$ . Spróbujemy to teraz zrobić.
Prosta $CD$ jest równoległa do $AB$ , czyli jest postaci $y = x + b$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $C$ .
$5 = 3 + b ⇒ b = 2.$
Znajdźmy teraz jej punkt wspólny z wyznaczoną wcześniej osią symetrii trapezu, czyli środek odcinka $CD$ .
${ y = x+ 2 y = −x + 6.$
Dodając równania stronami mamy
$2y = 8 ⇒ y = 4.$
Zatem $x = y − 2 = 2$ i środek odcinka $CD$ ma współrzędne $(2,4)$ . Łatwo teraz wyznaczyć współrzędne punktu $D$
$( ) { 3-+-xD- 5-+-yD- 3 + xD = 4 (2,4) = 2 , 2 ⇒ 5 + y = 8. D$
Stąd $D = (1,3)$ oraz
$∘ ------------------- 2 2 √ -- √ -- CD = (1 − 3 ) + (3 − 5) = 8 = 2 2.$
Pole trapezu jest więc równe
$√ -- √ -- P = AB--+-CD--⋅ h = 4--2-+-2---2⋅ √ 2 = 3√ 2-⋅√ 2-= 6. 2 2$

Odpowiedź: 6