Zadanie nr 8729993
Wierzchołki trapezu mają współrzędne:
. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy
tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się przekątnych trapezu
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.
Aby znaleźć punkt wspólny dla przekątnych
i
musimy wyznaczyć ich równania.
Równanie prostej łatwo zgadnąć patrząc na współrzędne punktów
i
: jest to prosta
.
Szukamy teraz prostej w postaci
. Podstawiamy współrzędne punktów
i
i mamy

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych
i
.

Podstawiając do drugiego równania mamy
, więc
.
Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej . Jak zwykle szukamy prostej w postaci
. Podstawimy współrzędne punktów
i
.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Niech będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej
. Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej
– jest to prosta prostopadła do
, czyli prosta postaci
i przechodząca przez
. Podstawiając współrzędne punktu
mamy

Jest to więc prosta: . Obliczamy teraz współrzędne punktu
(czyli punktu wspólnego prostych
i
).

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i
.
Obliczamy teraz długość promienia okręgu.

Szukany okrąg ma więc równanie

Sposób II
Długość promienia możemy obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:

W naszej sytuacji , a prosta to
. Mamy zatem

Szukany okrąg ma więc równanie

Odpowiedź: