Zadanie nr 8729993
Wierzchołki trapezu mają współrzędne:
. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy
tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się przekątnych trapezu
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.
Aby znaleźć punkt wspólny dla przekątnych
i
musimy wyznaczyć ich równania.
Równanie prostej łatwo zgadnąć patrząc na współrzędne punktów
i
: jest to prosta
.
Szukamy teraz prostej w postaci
. Podstawiamy współrzędne punktów
i
i mamy
![{ − 1 = − 9a + b 2 = 3a + b.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR12x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych
i
.
![{ x = − 1 1 5 y = 4x+ 4.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR21x.gif)
Podstawiając do drugiego równania mamy
, więc
.
Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej . Jak zwykle szukamy prostej w postaci
. Podstawimy współrzędne punktów
i
.
![{ 7 = −a + b − 1 = − 9a+ b.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR29x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Niech będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej
. Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej
– jest to prosta prostopadła do
, czyli prosta postaci
i przechodząca przez
. Podstawiając współrzędne punktu
mamy
![1 = 1+ b ⇒ b = 0.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR42x.gif)
Jest to więc prosta: . Obliczamy teraz współrzędne punktu
(czyli punktu wspólnego prostych
i
).
![{ y = −x y = x + 8](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR47x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i
.
Obliczamy teraz długość promienia okręgu.
![OE 2 = (− 4 + 1)2 + (4− 1)2 = 9 + 9 = 18 .](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR53x.gif)
Szukany okrąg ma więc równanie
![(x + 1)2 + (y − 1)2 = 18.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR54x.gif)
Sposób II
Długość promienia możemy obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
![|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR58x.gif)
W naszej sytuacji , a prosta to
. Mamy zatem
![|1-+-1-−-8|- -6-- √ -- OE = √ 1-+-1- = √ 2-= 3 2 .](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR61x.gif)
Szukany okrąg ma więc równanie
![(x + 1)2 + (y − 1)2 = (3 √ 2)2 = 18.](https://img.zadania.info/zad/8729993/HzadR62x.gif)
Odpowiedź: