Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8729993

Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (− 1,7),B = (− 9,− 1),C = (− 1,− 2),D = (3,2) . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się przekątnych trapezu ABCD .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Aby znaleźć punkt O wspólny dla przekątnych AC i BD musimy wyznaczyć ich równania.

Równanie prostej AC łatwo zgadnąć patrząc na współrzędne punktów A i C : jest to prosta x = − 1 .

Szukamy teraz prostej BD w postaci y = ax+ b . Podstawiamy współrzędne punktów B i D i mamy

{ − 1 = − 9a + b 2 = 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3 = 12a , czyli  1 a = 4 . Stąd b = 2− 3a = 54 i prosta BD ma równanie: y = 14x + 54 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny O prostych AC i BD .

{ x = − 1 1 5 y = 4x+ 4.

Podstawiając x = − 1 do drugiego równania mamy y = 1 , więc O = (− 1,1) .

Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej AB . Jak zwykle szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawimy współrzędne punktów A i B .

{ 7 = −a + b − 1 = − 9a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8 = 8a , czyli a = 1 . Stąd b = 7+ a = 8 i prosta AB ma równanie: y = x+ 8 .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech E będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej AB . Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej OE – jest to prosta prostopadła do AB , czyli prosta postaci y = −x + b i przechodząca przez O . Podstawiając współrzędne punktu O mamy

1 = 1+ b ⇒ b = 0.

Jest to więc prosta: y = −x . Obliczamy teraz współrzędne punktu E (czyli punktu wspólnego prostych OE i AB ).

{ y = −x y = x + 8

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0 = 2x + 8 , czyli x = − 4 . Stąd y = −x = 4 i E = (−4 ,4) .

Obliczamy teraz długość promienia OE okręgu.

OE 2 = (− 4 + 1)2 + (4− 1)2 = 9 + 9 = 18 .

Szukany okrąg ma więc równanie

(x + 1)2 + (y − 1)2 = 18.

Sposób II

Długość promienia OE możemy obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji P = O = (− 1,1) , a prosta to AB : y − x − 8 = 0 . Mamy zatem

 |1-+-1-−-8|- -6-- √ -- OE = √ 1-+-1- = √ 2-= 3 2 .

Szukany okrąg ma więc równanie

(x + 1)2 + (y − 1)2 = (3 √ 2)2 = 18.

 
Odpowiedź:  2 2 (x + 1) + (y − 1) = 18

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!