Zadanie nr 8907987

Napisz równanie okręgu opisanego na trapezie równoramiennym ABCD , jeżeli A = (3,12) , B = (− 14 ,1 9) , C = (− 21,12) i D = (− 14,− 5) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.

Sposób I

Nie przejmujemy się specjalnie tym, że dany czworokąt jest trapezem równoramiennym i szukamy środka S = (x,y ) okręgu opisanego tak, aby były spełnione warunki

{ SB 2 = SA 2 2 2 SC = SA { 2 2 2 2 (x+ 14) + (y− 19) = (x − 3) + (y − 12) (x+ 21)2 + (y− 12)2 = (x − 3)2 + (y − 12)2 { x2 + 28x + 196 + y 2 − 38y + 361 = x2 − 6x + 9 + y 2 − 24y + 144 x2 + 42x + 441 + y 2 − 24y + 144 = x2 − 6x + 9 + y 2 − 24y + 144 { 34x − 14y = − 404/ : 2 48x = − 4 32 ⇒ x = − 9.

Z pierwszego równania mamy

7y = − 15 3+ 202 = 49 ⇒ y = 7

i S = (−9 ,7) . Obliczamy jeszcze promień r = SA okręgu opisanego

∘ -------------------- √ --------- √ ---- r = SA = (3 + 9)2 + (12 − 7)2 = 14 4+ 25 = 169 = 13.

Okrąg opisany na trapezie ABCD ma więc równanie

2 2 2 (x + 9) + (y − 7) = 13 .

Sposób II

Zauważmy, że punkty i leżą na poziomej prostej y = 1 2 , więc symetralna odcinka jest pionową prostą o równaniu

3− 21 y = -------= − 9. 2

Środek szukanego okręgu oczywiście leży na tej symetralnej, więc jego druga współrzędne jest równa − 9 . Podobnie, punkty i leżą na pionowej prostej x = − 14 , więc symetralna odcinka jest poziomą prostą