Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9064751

Punkty B = (5,6) i C = (0,6) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD , którego podstawy AB i CD są prostopadłe do prostej k o równaniu y = − 12x + 1 . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt D należy do prostej k .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Wierzchołek D to punkt wspólny prostej k i prostej prostopadłej do k i przechodzącej przez punkt C . Napiszmy równanie tej prostej. Jest ona prostopadła do k , więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

6 = 0 + b.

Zatem prosta CD ma równanie y = 2x + 6 . Szukamy jej punktu wspólnego z prostą k .

{ 1 y = − 2x + 1 y = 2x+ 6.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 5- 0 = 2x + 5 ⇒ x = − 2.

Stąd y = − 1x + 1 = 2 2 i D = (− 2,2) .

Napiszemy teraz równanie prostej AB . Jako prostopadła do k ma ona równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

6 = 10 + b ⇒ b = − 4.

Zatem prosta AB ma równanie: y = 2x− 4 , co oznacza, że punkt A ma współrzędne postaci A = (x,2x − 4) . Pozostało teraz wykorzystać informację o tym, że trapez jest równoramienny.

 2 2 AD = BC (x + 2)2 + (2x − 6)2 = 25 x2 + 4x + 4 + 4x2 − 24x + 3 6 = 25 2 5x − 20x + 15 = 0 / : 5 x2 − 4x + 3 = 0 Δ = 16− 12 = 4 4 − 2 4+ 2 x = --2---= 1 ∨ x = --2---= 3 .

Mamy wtedy odpowiednio y = 2x − 4 = − 2 i y = 2 . Stąd A = (1,− 2) lub A = (3,2) .  
Odpowiedź: D = (− 2,2) , A = (1,− 2) lub A = (3,2)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!