/Szkoła średnia/Zadania testowe

Zadanie nr 2709554

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (an) jest określony wzorem ( )n −1 an = − 12 dla n ≥ 1 . Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 1023 -512- B) 1023 1024 C) − -341- 1024 D) 341- 512

Rozwiązanie

Wypiszmy 10 początkowych wyrazów ciągu (an) .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, − -, -, − -, ---, −---, --, − ---, ----, − ---. 2 4 8 16 3 2 64 128 25 6 512

Sposób I

Dodajemy wypisane liczby

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1- 1- 1- 1-- -1- -1- -1-- -1-- -1-- 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − 128 + 256 − 512 = = 1-+ 1-+ 1-+ -1--+ -1--= 256-+-64-+-16-+-4-+-1-= 341-. 2 8 32 128 512 512 512

Sposób II

Widać, że interesujące nas liczby tworzą ciąg geometryczny, w którym a1 = 1 , q = − 1 2 . Suma 10 początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa

( ) 10 1− qn 1− − 12 1 − --1- 2 1023 341 S10 = a1 ⋅-------= -------1----= ----13024 = -⋅ -----= ----. 1 − q 1 + 2 2 3 1024 512

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF