Zadanie nr 5560668

Punkty i są środkami odpowiednio podstawy i ramienia trójkąta równoramiennego ABC . Punkty i leżą na ramieniu tak, że odcinki i są prostopadłe do prostej (zobacz rysunek).

Pole trójkąta BGD jest równe 2, a pole trójkąta CF E jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A) 24 B) 8 C) 12 D) 16

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość trójkąta ABC .

Zauważmy teraz, że trójkąt CF E jest podobny do trójkąta CHA w skali CCAE = 12 . Podobnie trójkąt BGD jest podobny do trójkąta BHA w skali BD- = 1 BA 2 . Mamy stąd

P = P + P = 4P + 4P = 1 6+ 8 = 24. ABC CHA BHA CFE BGD

Sposób II

Niech G ′ będzie takim punktem odcinka , że EG ′ ∥ AB . Wtedy trójkąty BGD i G ′FE są podobne oraz EG ′ = 1AB = DB 2 . Trójkąty te są więc przystające. Stąd