/Szkoła średnia/Zadania testowe

Zadanie nr 8497261

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty B ,C i D leżą na okręgu o środku S i promieniu r . Punkt A jest punktem wspólnym prostych BS i CD , a odcinki AD i SD są równej długości. Miara kąta ABC jest równa 54∘ (zobacz rysunek). Wtedy

PIC

A) α = 63∘ B) α = 24∘ C) α = 1 8∘ D) α = 21∘

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że każdy z odcinków SB ,SC ,SD ma długość równą promieniowi okręgu.

PIC

W szczególności trójkąt CBS jest równoramienny i

∡BSC = 1 80∘ − 2⋅5 4∘ = 72∘.

Z założenia trójkąt ASD też jest równoramienny, więc

∡DSA = α ⇒ ∡SDA = 180∘ − 2α.

To z kolei oznacza, że

∘ ∘ ∘ ∡SCD = ∡SDC = 180 − ∡SDA = 180 − (180 − 2α ) = 2α.

Stąd

∡CSD = 180∘ − 4α

i

180 ∘ = ∡BSC + ∡CSD + ∡ASD = 63∘ + 180 ∘ − 4α + α ∘ ∘ 3α = 72 ⇒ α = 24 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF