Zadanie nr 9851072

Na podstawie i ramieniu trójkąta równoramiennego ABC dane są punkty i takie, że |AE | = 2|EC | i |AD | = 2|DB | . Punkty i leżą na ramieniu tak, że odcinki i są prostopadłe do prostej (zobacz rysunek).

Pole trójkąta ABC jest równe 18. Zatem suma pól trójkątów CF E i BGD jest równa
A) 9 B) 6 C) 3 D) 2

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość trójkąta ABC .

Zauważmy teraz, że trójkąt CF E jest podobny do trójkąta CHA w skali CCAE = 13 . Podobnie trójkąt BGD jest podobny do trójkąta BHA w skali BD- = 1 BA 3 . Mamy stąd

18 = P = P + P = 9P + 9P ⇒ P + P = 2. ABC CHA BHA CFE BGD CFE BGD

Sposób II

Niech ′ G będzie takim punktem odcinka , że ′ EG ∥ AB . Wtedy trójkąty BGD i ′ G FE są podobne oraz ′ 1 EG = 3AB = DB . Trójkąty te są więc przystające. Stąd