/Szkoła średnia/Zadania testowe

Zadanie nr 9944906

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jeśli wykres funkcji kwadratowej 2 f (x) = −x + 3x + 2a jest styczny do prostej y = − 2 , to
A) a = − 178- B) a = − 98 C) a = 9 4 D) a = 17- 8

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

( ) 2 ( ) f (x ) = −x 2 + 3x + 2a = − x − 3- + 2a + 9- . 2 4

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie ( ) 3,2a + 9 2 4 . Jeżeli wykres tej funkcji jest styczny do prostej y = − 2 , to wierzchołek paraboli musi leżeć na tej prostej, tzn.

9 17 1 7 2a + --= − 2 ⇐ ⇒ 2a = − --- ⇐ ⇒ a = − ---. 4 4 8

Sposób II

Wykres funkcji f jest styczny do prostej y = − 2 wtedy i tylko wtedy, gdy równanie

f (x ) = − 2 − x2 + 3x + 2a = − 2 2 x − 3x − 2a − 2 = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Aby tak było musi być spełniony warunek

0 = Δ = 9 + 4(2a + 2 ) = 17+ 8a / : 8 17 a = − --. 8

Sposób III

Wykresem funkcji f(x) = −x 2 + 3x + 2a jest parabola o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

−-3- 3- xw = − 2 = 2 .

Jeżeli wykres tej funkcji ma jeden punkt wspólny z prostą y = − 2 , to wierzchołek paraboli musi leżeć na tej prostej, tzn.

(3 ) 9 9 − 2 = f -- = − --+ --+ 2a 2 4 2 9- 17- 17- 2a = − 2 − 4 = − 4 ⇐ ⇒ a = − 8 .

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF