/Szkoła średnia/Nierówności/Wymierne

Zadanie nr 9322943

Rozwiąż nierówność

1 1 1 1 1 ---------+ ---------------+ ---------------+ ---------------+ --------------- < 0. x(x + 1) (x + 1)(x+ 2) (x+ 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4 )(x+ 5)
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zadanie jest dość proste jeżeli zauważymy, że

---1----- 1- --1--- x(x + 1) = x − x + 1 .

Z tej równości, możemy daną nierówność zapisać w postaci

( ) ( ) ( ) 1- --1--- --1--- --1--- --1--- --1--- x − x + 1 + x + 1 − x+ 2 + x+ 2 − x + 3 + ( ) ( ) + --1---− --1--- + --1--− --1--- < 0 x + 3 x+ 4 x+ 4 x + 5 1 1 --− ------< 0 x x + 5 x+--5−--x- x(x + 5 ) < 0 ---5-----< 0 . x(x + 5)

Nierówność ta jest równoważna nierówności

x(x + 5) < 0 x ∈ (− 5,0).

Nie jest to jednak ostateczna odpowiedź, bo musimy jeszcze wyrzucić z tego przedziału liczby − 4,− 3,− 2,− 1 , które nie należą do dziedziny nierówności.

Sposób II

Nawet jak nie zauważmy sztuczki z poprzedniego sposobu, to ułamki można dodać po kolei, jeżeli będziemy po drodze je skracać.

----1----+ ------1--------+ -------1-------+ ------1--------+ -------1------- = x(x + 1) (x+ 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x+ 5) x + 2 + x 1 1 1 = ----------------+ ---------------+ ---------------+ ---------------= x(x + 1)(x+ 2) (x + 2)(x + 3) (x+ 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5 ) ----2(x-+-1)---- -------1------- ------1-------- -------1------- = x(x + 1)(x+ 2) + (x + 2)(x + 3) + (x+ 3)(x + 4) + (x + 4)(x + 5 ) = = ----2----+ ------1--------+ -------1-------+ -------1-------= x(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x+ 4) (x + 4)(x + 5) 2(x + 3) + x 1 1 = ----------------+ ---------------+ ---------------= x(x + 2)(x+ 3) (x + 3)(x + 4) (x+ 4)(x + 5) ----3---- ------1-------- -------1------- = x(x + 3) + (x + 3)(x + 4) + (x + 4)(x+ 5) = = --3(x-+-4)-+-x--+ -------1-------= ----4----+ ------1--------= x(x + 3)(x+ 4) (x + 4)(x + 5) x(x + 4) (x+ 4)(x + 5) 4(x + 5) + x 5(x + 4) 5 = ---------------- = ---------------- = --------. x(x + 4)(x+ 5) x (x+ 4)(x + 5) x(x + 5)

Dalej liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: (− 5,− 4)∪ (− 4 ,− 3 )∪ (− 3,− 2) ∪ (−2 ,−1 )∪ (− 1,0)

Wersja PDF