/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy

Zadanie nr 7772964

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na rysunku obok jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej f . Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x = − 3 .

PIC

Rozwiązaniem nierówności f(x) ≤ 0 jest zbiór
A) ⟨0,− 3⟩ B) ⟨− 3,3⟩ C) ⟨− 6,3⟩ D) ⟨− 9,3⟩

Rozwiązanie

Sposób I

Z wykresu widać, że jednym z miejsc zerowych danej funkcji kwadratowej jest x = 3 . Drugie miejsce zerowe łatwo wyznaczyć z podanej informacji o osi symetrii wykresu – punkt symetryczny do (3,0) względem prostej x = − 3 to punkt (− 9,0) . Rozwiązujemy więc nierówność

a(x − 3)(x + 9) ≤ 0 ,

gdzie a > 0 . Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział ⟨− 9,3⟩ .

Sposób II

Podane równanie osi symetrii paraboli oznacza, że funkcja f ma wzór postaci

2 f (x) = a(x + 3) + q.

Wiemy ponadto, że f(0) = − 3 i f(3) = 0 . Mamy zatem

{ 9a+ q = − 3 36a+ q = 0.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 27a = 3 , czyli 1 a = 9 . Stąd

1 q = − 36a = − 36 ⋅--= − 4. 9

Rozwiązujemy teraz nierówność

1 2 -(x + 3 ) − 4 ≤ 0 / ⋅9 9 2 (x+ 3) − 36 ≤ 0 (x+ 3− 6)(x + 3+ 6) ≤ 0 (x− 3)(x + 9) ≤ 0 x ∈ ⟨− 9,3⟩.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF