/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy

Zadanie nr 8558100

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcje f i g są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x ⁄= 2 wzorami: f (x) = log 1(x − 2)2 2 , g(x) = log 1|x − 2| 2 . Ile punktów wspólnych mają wykresy tych funkcji?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4

Rozwiązanie

Musimy ustalić, ile miejsc zerowych ma funkcja

2 f (x )− g(x) = log 12(x− 2) − log 12 |x − 2| = (x − 2)2 |x − 2|2 = log 1---------= lo g1 --------= lo g1 |x − 2|. 2 |x− 2| 2 |x − 2| 2

Sposób I

Szkicujemy wykres funkcji y = log1 |x − 2 | 2 . Jest to wykres funkcji y = log1 |x| 2 przesunięty o dwie jednostki w prawo, a wykres y = log 12 |x| , to dwie kopie wykresu y = log1 x 2 umieszczone symetrycznie względem osi Oy .

PIC

Z rysunku widać, że funkcja f(x )− g(x) ma dwa miejsca zerowe.

Sposób II

Rozwiązujemy równanie

log 1|x − 2| = 0 2 |x− 2| = 1 x − 2 = − 1 ∨ x − 2 = 1 x = 1 ∨ x = 3.

Sposób III

Szukamy punktów wspólnych wykresów funkcji f i g .

f (x ) = g(x) lo g1(x − 2)2 = log 1|x − 2| 2 2 (x − 2)2 = |x − 2|

Jeżeli x > 2 to mamy stąd

2 (x− 2) = (x − 2) ⇒ x − 2 = 1 ⇒ x = 3 ,

a jeżeli x − 2 < 0 , to mamy

2 (x − 2) = − (x − 2) ⇒ x − 2 = − 1 ⇒ x = 1 .

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF