/Szkoła średnia/Zadania testowe/Nierówności/Kwadratowe

Zadanie nr 1593824

Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej 2 x − kx − k − 1 < 0 z niewiadomą x i parametrem k , jest taki sam jak zbiór rozwiązań nierówności |x− 1| < 2 . Liczba k jest równa
A) (− 2) B) 2 C) (− 3) D) 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność z wartością bezwzględną w sposób równoważny.

2 |x − 1| < 2 / () (x − 1)2 < 4 2 x − 2x − 3 < 0.

Jeżeli ma to być ta sama nierówność co

x2 − kx − k − 1 < 0,

to k = 2 .

Sposób II

Łatwo zgadnąć jeden z końców przedziału będącego zbiorem rozwiązań nierówności |x − 1| < 2 – jest to np. x = 3 (drugi koniec to x = − 1 ). To oznacza, że liczba x = 3 musi być miejscem zerowym trójmianu, który znajduje się po lewej stronie danej nierówności kwadratowej. Sprawdźmy kiedy tak jest.

0 = 9 − 3k − k − 1 = −4k + 8 ⇐ ⇒ k = 2.

Sposób III

Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną

|x− 1| < 2 − 2 < x − 1 < 2 / + 1 − 1 < x < 3 .

Widać teraz, że liczby x = − 1 i x = 3 muszą być miejscami zerowym trójmianu, który znajduje się po lewej stronie danej nierówności kwadratowej. Możemy tak jak w poprzednim sposobie sprawdzić kiedy taka jest, albo alternatywnie skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej. Nierówność kwadratowa musi mieć postać

0 > (x + 1 )(x− 3) = x2 − 2x − 3,

czyli k = 2 .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF