/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria

Zadanie nr 1145767

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O , który jest styczny do wszystkich boków trapezu równoramiennego ABCD . Ramiona AD i BC są styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach K i L . Kąt wypukły KOL ma miarę 1 50∘ .

PIC

Miara α kąta ostrego tego trapezu jest równa
A) 75∘ B) 8 0∘ C) 85∘ D) 65∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Niech M będzie punktem styczności danego okręgu i podstawy AB .

PIC

Trapez jest równoramienny, więc

36 0∘ − 150∘ 210∘ ∡KOM = ------------ = -----= 1 05∘. 2 2

W czworokącie AMOK mamy

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ α = ∡MAK = 360 − 10 5 − 90 − 90 = 75 .

Sposób II

Tak jak poprzednio, niech M będzie punktem styczności danego okręgu i podstawy AB . Cztery trójkąty prostokątne OKA , OMA , OMB i OLB są przystające oraz

∘ ∘ ∘ ∡KOA = 360-−--150--= 210--= 52,5∘. 4 4

Stąd

α ∘ ∘ ∘ ∘ --= ∡KAO = 90 − ∡KOA = 90 − 52,5 = 37 ,5 2 ∘ ∘ α = 2 ⋅37,5 = 75 .

Sposób III

Niech P będzie punktem wspólnym ramion AD i BC .

PIC

Ponieważ promienie OK i OL są prostopadłe do ramion trapezu, w czworokącie KOLP mamy

∡AP B = 36 0∘ − 150∘ − 90∘ − 90∘ = 3 0∘.

Trójkąt ABP jest równoramienny, więc

180-∘ −-3-0∘ 1-50∘ ∘ α = ∡BAP = 2 = 2 = 75 .

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF