/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria

Zadanie nr 1272316

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości √ -- 32 3 rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt ABCD , w którym bok BC odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa), a przekątna AC tworzy z bokiem BC kąt o mierze ∘ 30 (zobacz rysunek).

PIC

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa.
A) 4 B) √ -- 4 3 C) √ -- 2 3 D) 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez H jego wysokość, to AB = 4a i CB = H . W trójkącie prostokątnym ABC mamy

AB-- ∘ -AB--- -4a 12a- √ -- BC = tg 30 ⇒ H = BC = tg30 ∘ = √-3 = √ 3-= 4 3a. 3

Pozostało teraz skorzystać z podanej objętości graniastosłupa.

√ -- √ -- 32 3 = a2 ⋅H = 4 3a 3 ⇒ a3 = 8 ⇒ a = 2.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF