/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 4724472

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku C . Środkowa CD tworzy z przyprostokątną AC kąt 20∘ . Wynika stąd, że kąt między tą środkową a wysokością CE trójkąta ma miarę
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) ∘ 70

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Ponieważ punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , więc DC = DA , czyli trójkąt ACD jest równoramienny. Mamy zatem

∡CAD = 20∘.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CEA

∡ECA = 180∘ − 90 ∘ − 2 0∘ = 70∘.

Zatem

∡ECD = ∡ECA − ∡DCA = 7 0∘ − 20∘ = 50∘.

Sposób II

Jak zauważyliśmy w poprzednim sposobie, punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , skąd DB = DC . Ponadto

∡BCD = 90∘ − 20∘ = 70 ∘.

Trójkąt BCD jest więc równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę 50∘ , więc

∡CBD = 70 ∘ ⇒ ∡CDB = 180∘ − 70∘ − 70∘ = 40∘.

Zatem z trójkąta CED mamy

∡ECD = 90∘ − EDC = 90∘ − 40∘ = 5 0∘.

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF