/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 4809992

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg o środku O jest styczny do prostej k w punkcie A .

PIC

Miara kąta α zaznaczonego na rysunku wynosi
A) 45∘ B) 7 0∘ C) 60∘ D) 65∘

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

∘ ∘ ∘ ∡AOB = 360 − 2α − 10 0 = 260 − 2α .

Oczywiście trójkąt AOB jest trójkątem równoramiennym. Stąd

1 80∘ − ∡AOB ∡OBA = ∡OAB = ---------------= α − 40∘. 2

Prosta k jest styczną okręgu, więc

α+ ∡OAB = 90∘ ∘ ∘ α+ α− 40 = 90 2α = 13 0∘ ⇒ α = 65 ∘.

Sposób II

Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej, kąt ostry oparty na cięciwie AB ma miarę α .

PIC

Zatem kąt środkowy oparty na tej samej cięciwie jest dwa razy większy, czyli

∡AOB = 2 α.

Mamy więc

∘ ∘ 2α + 2α + 100 = 360 4α = 26 0∘ α = 65∘.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF