/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 5296318

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na trójkącie ABC opisano okrąg i poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A (zobacz rysunek obok).

ZINFO-FIGURE

Jeżeli 2α + 3 β = 275 ∘ , to
A) α = 55∘ B) α = 45∘ C) α = 5 0∘ D) α = 40∘

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej α = β . W takim razie

27 5∘ = 2α + 3β = 5α ⇒ α = 55∘.

Sposób II

Dorysujmy promienie OA i OB .

ZINFO-FIGURE

Trójkąt AOB jest równoramienny, więc

∡OBA = ∡OAB = 90 ∘ − α

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o kątach: wpisanym i środkowym, mamy

∡AOB = 2 β.

Zatem

180∘ = 2β + (90∘ − α) + (90∘ − α) = 180∘ + 2(β − α) ⇒ α = β.

Stąd

27 5∘ = 2α + 3β = 5α ⇒ α = 55∘.

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF