/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 5345258

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12. Poprowadzono wysokość na przeciwprostokątną. Wysokość ta podzieliła przeciwprostokątną na odcinki w stosunku
A) -5 12 B) 25- 169 C) 5- 13 D) -25 144

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Trójkąty ABD i CAD są prostokątne i każdy z nich ma kąt wspólny z trójkątem ABC . Zatem każdy z nich jest podobny do trójkąta ABC . Stąd

CD CA CA 2 2 5 CA-- = -CB- ⇒ CD = -CB--= BC-- 2 BD-- = BA-- ⇒ BD = BA---= 144. BA BC BC BC

Stąd

25- CD-- -BC- 2-5- BD = 144 = 144 . BC

Sposób II

Przeciwprostokątna ABC trójkąta ma długość

∘ -2-----2- √ --------- 5 + 12 = 25+ 144 = 13 .

Obliczmy jeszcze długość wysokości trójkąta – porównujemy dwa wzory na jego pole.

1-⋅5 ⋅12 = PABC = 1-⋅13 ⋅h 2 2 5⋅12-- 60- h = 13 = 13 .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkątach ABD i CAD .

∘ ----------- ∘ ---- ∘ ---2----2- 3600- 625- 25- CD = AC − h = 25− 169 = 169 = 13 ∘ ---------- ∘ ------------ ∘ ------- BD = AB 2 − h2 = 144− 3600-= 20736-= 144-. 169 169 1 3

Stąd

CD-- -2153- 2-5- BD = 144 = 144 . 13

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF