/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 6513291

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą 6 i 8. Stosunek długości odcinków, na które wysokość podzieliła przeciwprostokątną wynosi
A) 3 4 B) 2 3 C) 32 42 D) 2 232

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Trójkąty ABD i CAD są prostokątne i każdy z nich ma kąt wspólny z trójkątem ABC . Zatem każdy z nich jest podobny do trójkąta ABC . Stąd

CD CA CA 2 62 CA-- = CB-- ⇒ CD = -CB--= BC-- 2 2 BD-- = BA-- ⇒ BD = BA---= 8--. BA BC BC BC

Stąd

2 CD-- -6BC- 62- 32- BD = 82-= 82 = 42 BC

Sposób II

Przeciwprostokątna ABC trójkąta ma długość

∘ -2----2 √ ---- 6 + 8 = 100 = 10.

Obliczmy jeszcze długość wysokości trójkąta – porównujemy dwa wzory na jego pole.

1-⋅8⋅ 6 = PABC = 1-⋅10 ⋅h 2 2 48- 24- h = 10 = 5 .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkątach ABD i CAD .

∘ --------- ∘ ---- ∘ ---2----2- 576- 32-4 18- CD = AC − h = 36− 2 5 = 25 = 5 ∘ ---------- ∘ --------- ∘ ---- BD = AB 2 − h2 = 6 4− 576-= 324-= 32-. 25 25 5

Stąd

CD-- -185- 18- -9- 32- BD = 32-= 32 = 16 = 42. 5

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF