/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 1216958

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AB i BC trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty F i E w ten sposób, że |AF | : |F B| = |CE | : |EB | = 1 : 2 . Odcinki AE i CF przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt ASC jest podobny do trójkąta ESF . PF
Pole trójkąta FAE jest równe polu trójkąta F CE .PF

Rozwiązanie

Wiemy, że 2 BF = 3 BA i 2 BE = 3BC , więc trójkąt BF E jest podobny do trójkąta BAC w skali 23 . W szczególności EF ∥ CA i czworokąt AF EC jest trapezem.

Trójkąty ASC i ESF mają równe kąty:

∡CAE = ∡F EA ∡ACF = ∡EF C ∡ASC = ∡ESF .

Są więc podobne.

Trójkąty FAE i FCE mają wspólną podstawę FE . Ponadto wysokości opuszczone na tą podstawę w każdym z trójkątów mają tą samą długość – jest to po prostu odległość między równoległymi prostymi AC i FE . W takim razie te dwa trójkąty mają równe pola.  
Odpowiedź: P, P

Wersja PDF