/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 9851072

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na podstawie AB i ramieniu AC trójkąta równoramiennego ABC dane są punkty D i E takie, że |AE | = 2|EC | i |AD | = 2|DB | . Punkty F i G leżą na ramieniu BC tak, że odcinki DG i EF są prostopadłe do prostej BC (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta ABC jest równe 18. Zatem suma pól trójkątów CF E i BGD jest równa
A) 9 B) 6 C) 3 D) 2

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość AH trójkąta ABC .

PIC

Zauważmy teraz, że trójkąt CF E jest podobny do trójkąta CHA w skali CCAE = 13 . Podobnie trójkąt BGD jest podobny do trójkąta BHA w skali BD- = 1 BA 3 . Mamy stąd

18 = P = P + P = 9P + 9P ⇒ P + P = 2. ABC CHA BHA CFE BGD CFE BGD

Sposób II

Niech ′ G będzie takim punktem odcinka BC , że ′ EG ∥ AB . Wtedy trójkąty BGD i ′ G FE są podobne oraz ′ 1 EG = 3AB = DB . Trójkąty te są więc przystające. Stąd

P + P ′ = P ′. CFE G FE CEG

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąt CEG ′ jest 3 razy mniejszy od trójkąta ABC , więc

1 PCEG ′ = -PABC = 2 . 9

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF