/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Kąty, funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 5743384

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku C . Środkowa CD tworzy z przyprostokątną AC kąt 25∘ . Wynika stąd, że kąt między tą środkową a wysokością CE trójkąta ma miarę
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 45∘ D) ∘ 20

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Sposób I

Ponieważ punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , więc DC = DA , czyli trójkąt ACD jest równoramienny. Mamy zatem

∡CAD = 25∘.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CEA

∡ECA = 180∘ − 90 ∘ − 2 5∘ = 65∘.

Zatem

∡ECD = ∡ECA − ∡DCA = 6 5∘ − 25∘ = 40∘.

Sposób II

Jak zauważyliśmy w poprzednim sposobie, punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , skąd DB = DC . Ponadto

∡BCD = 90∘ − 25∘ = 65 ∘.

Trójkąt BCD jest więc równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę 65∘ , więc

∡CBD = 65 ∘ ⇒ ∡CDB = 180∘ − 65∘ − 65∘ = 50∘.

Zatem z trójkąta CED mamy

∡ECD = 90∘ − EDC = 90∘ − 50∘ = 4 0∘.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF