/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 1405738

Punkty A ,B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).

PIC

Miary α i β zaznaczonych kątów ACB i ASB spełniają warunek β − α = 45∘ . Wynika stąd, że
A) α = 315∘ B) α = 225∘ C) ∘ α = 1 50 D) ∘ α = 105

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z faktu, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk AMB ).

PIC

Zatem

{ β+ 2α = 36 0∘ β− α = 45∘

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

∘ ∘ 3α = 315 ⇒ α = 105 .

Sposób II

Jeżeli nie chcemy posługiwać się kątami wklęsłymi to dorysujmy punkt D na na okręgu. Wtedy

1 β ∡ADB = --∡ASB = -. 2 2

Zatem

{ β- ∘ α + 2 = 180 β − α = 45∘

Dodajemy równania stronami i mamy

3- ∘ 2- ∘ ∘ 2β = 225 ⇒ β = 3 ⋅225 = 150 .

Stąd α = β − 4 5∘ = 105∘ .  
Odpowiedź: D

Wersja PDF