/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 2284272

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r . Na tym okręgu wybrano punkt C , taki, że |∡ABC | = 7 5∘ (zobacz rysunek).

PIC

Pole trójkąta AOC jest równe
A) r2 2 B) r2 4 C) √ -- r2--15- 16 D) 2 r

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Trójkąt BOC jest równoramienny więc

∘ ∘ ∘ ∘ ∡BOC = 180 − 2⋅ ∡OBC = 18 0 − 150 = 30 .

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∡AOC = 180 − ∡BOC = 180 − 3 0 = 150 .

Korzystamy teraz ze wzoru z sinusem na pole trójkąta

1 1 PAOC = --⋅OA ⋅OC ⋅sin∡AOC = -r2sin 150∘ = 2 2 2 = 1r2 sin(1 80∘ − 30∘) = 1-r2sin3 0∘ = r-. 2 2 4

Sposób II

Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, mamy

∡AOC = 2 ∡ABC = 2 ⋅75∘ = 150∘.

Pole trójkąta AOC obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF