/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 8009629

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg o środku O jest styczny do prostej k w punkcie A .

PIC

Miara kąta α zaznaczonego na rysunku wynosi
A) 45∘ B) 7 0∘ C) 60∘ D) 65∘

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

∘ ∘ ∘ ∡AOB = 3 60 − 4α− 90 = 27 0 − 4α.

Oczywiście trójkąt AOB jest trójkątem równoramiennym. Stąd

180∘ − ∡AOB ∡OBA = ∡OAB = ---------------= 2α − 4 5∘. 2

Prosta k jest styczną okręgu, więc

α+ ∡OAB = 90∘ ∘ ∘ α+ 2α − 45 = 9 0 3α = 13 5∘ ⇒ α = 45 ∘.

Sposób II

Na mocy twierdzenia o stycznej i siecznej, kąt ostry oparty na cięciwie AB ma miarę α .

PIC

Zatem kąt środkowy oparty na tej samej cięciwie jest dwa razy większy, czyli

∡AOB = 2 α.

Mamy więc

∘ ∘ 2α + 4 α+ 90 = 360 6α = 270∘ α = 45∘.

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF