/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 8675482

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt S jest środkiem okręgu.

PIC

Miara kąta α wynosi
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 70∘ D) 20∘

Rozwiązanie

Dorysujmy promień BS okręgu.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ASB i CSB są równoramienne, więc

∡SBA = ∡SAB = α ∡SBC = ∡SCB = 40 ∘.

Mamy stąd

∡BSC = 18 0∘ − 2⋅40 ∘ = 100∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡ASB = 360 − ∡BSC − ∡ASC = 36 0 − 140 − 100 = 120 1- ∘ 1- ∘ ∘ ∡ α = 2 (180 − ∡ASB ) = 2 ⋅60 = 30 .

Sposób II

Korzystamy z zależności między kątami środkowym i wpisanym opartymi na tym samym łuku.

∘ ∘ ∘ ∘ 140 = ∡ASC = 2∡ABC = 2(α + 40 ) = 2 α+ 80 ⇒ α = 30 .

Sposób III

Zauważmy najpierw, że kąty ASC i ABC są oparte na tym samym łuku, więc

∡ABC = 1∡ASC = 70∘. 2

Teraz skorzystamy z tego, że suma kątów w czworokącie (nawet w takim, który nie jest wypukły) jest równa 36 0∘ . Patrzymy na czworokąt ABCS .

α = 360∘ − 40 ∘ − 7 0∘ − (360∘ − 140∘) = 3 0∘.

 
Odpowiedź: A

Wersja PDF