/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 8737497

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt S jest środkiem okręgu.

PIC

Miara kąta α wynosi
A) 24∘ B) 4 8∘ C) 42∘ D) 18∘

Rozwiązanie

Dorysujmy promień BS okręgu.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ASB i CSB są równoramienne, więc

∘ ∡SBA = ∡SAB = 24 ∡SBC = ∡SCB = α .

Mamy stąd

∡ASB = 180 ∘ − 2 ⋅24∘ = 132∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BSC = 360 − ∡ASC − ∡ASB = 360 − 84 − 13 2 = 144 1- ∘ 1- ∘ ∘ ∡α = 2 (180 − ∡BSC ) = 2 ⋅3 6 = 18 .

Sposób II

Korzystamy z zależności między kątami środkowym i wpisanym opartymi na tym samym łuku.

∘ ∘ ∘ ∘ 84 = ∡ASC = 2∡ABC = 2(α + 2 4 ) = 2α + 48 ⇒ α = 18 .

Sposób III

Zauważmy najpierw, że kąty ASC i ABC są oparte na tym samym łuku, więc

∡ABC = 1∡ASC = 42∘. 2

Teraz skorzystamy z tego, że suma kątów w czworokącie (nawet w takim, który nie jest wypukły) jest równa 36 0∘ . Patrzymy na czworokąt ABCS .

α = 360∘ − 24∘ − 42∘ − (360 ∘ − 8 4∘) = 18∘.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF