/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi

Zadanie nr 6543569

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie √13 . Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie ( 1 ) − √3- . Wynika stąd, że liczba x − y jest równa
A) 0 B) √ -- 3 C) √-2-- 3− 1 D) 3

Rozwiązanie

Sposób I

Obliczamy sumy każdego z dwóch opisanych ciągów

√ -- √ --√ -- √ -- x = --a1--= ---1---= √-1---= √---3---= --3(--3+--1)-= 3+----3- 1 − q 1− √1- --3√−1 3 − 1 3 − 1 2 3 3 √ -- √ --√ -- √ -- a1 1 1 3 3( 3− 1) 3− 3 y = ------= -----1-= √-3+1-= √-------= -------------= -------. 1 − q 1+ √3 --√3- 3 + 1 3 − 1 2

Stąd

√ -- √ -- √ -- x − y = 3-+---3-− 3-−---3-= 3. 2 2

Sposób II

Mamy obliczyć różnicę

( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 1+ √---+ --+ -√---+ ... − 1 − √---+ -− -√---+ ... = 3 3 3 3 3 3 3 3 -2-- --2-- --2-- = √ --+ √ -+ √ --... 3 3 3 9 3

która jak widać jest sumą szeregu geometrycznego z pierwszym wyrazem równym a 1 = √2- 3 i ilorazem q = 1 3 . Mamy zatem

a √2- √2- 3 √ -- x − y = ---1--= ---31-= -32-= √---= 3. 1 − q 1− 3 3 3

Z formalnego punktu widzenia, w powyższym rachunku skorzystaliśmy z tego, że zbieżny szereg geometryczny jest bezwględnie zbieżny – dzięki temu mogliśmy zmienić kolejność sumowania w wyrażeniu x− y .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF