/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Arytmetyczny

Zadanie nr 7918292

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , wyraz szósty jest równy 3, a wyraz dziesiąty jest równy 15. Jednym z wyrazów tego ciągu jest liczba
A) 2023 B) 1945 C) 1410 D) 2000

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że

{ 3 = a 6 = a1 + 5r 15 = a10 = a1 + 9r.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

12 = 4r ⇒ r = 3.

Sposób I

Jeżeli r = 3 , to każdy wyraz ciągu (an) różni się od a6 = 3 o wielokrotność liczby 3. To oznacza, że wśród wyrazów ciągu (an ) znajdują się wyłącznie liczby podzielne przez 3. Wśród podanych odpowiedzi jest tylko jedna taka liczba: 1410.

Sposób II

Jeżeli r = 3 , to

a = 3 − 5r = 3 − 15 = − 12 1

i

an = a1 + (n − 1)r = − 12 + 3 (n− 1) = 3n − 15 .

Możemy teraz sprawdzić, dla której z podanych liczb x równanie an = x ma rozwiązanie. Albo, tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu an są liczbami podzielnymi przez 3. Wśród podanych liczb tylko 1410 ma tą własność. Możemy jeszcze sprawdzić, który to jest wyraz ciągu (a ) n .

3n − 15 = 1410 3n = 1425 ⇒ n = 475.

Zatem a475 = 1410 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF