/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej

Zadanie nr 9385673

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , dane są punkty A = (1,2) i B = (2m ,m ) , gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y = −x − 1 . Prosta przechodząca przez punkty A i B jest prostopadła do prostej k , gdy
A) m = − 1 B) m = 1 C) 1 m = 2 D) m = 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Prosta prostopadła do prostej y = −x − 1 ma równanie postaci y = x + b . Jeżeli ta prosta ma przechodzić przez punkt A = (1,2 ) , to

2 = 1+ b ⇒ b = 1.

Prosta AB ma więc równanie y = x + 1 . Pozostało sprawdzić, dla jakiej wartości m punkt B jest na tej prostej.

m = 2m + 1 ⇐ ⇒ m = − 1.

Sposób II

Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

y − y m − 2 a = -b----a-= -------. xb − xa 2m − 1

Prosta ta ma być prostopadła do prostej y = −x − 1 , więc

1 = a = m-−--2- 2m − 1 (2m − 1) = m − 2 m = − 2 + 1 = − 1.

Sposób III

Napiszmy równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 2 = a + b m = 2ma + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

m − 2 m − 2 = (2m − 1)a ⇒ a = -------. 2m − 1

Współczynnika b możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny. Prosta ta ma być prostopadła do prostej y = x − 1 , więc a = 1 . Dalej postępujemy identycznie jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: A

Wersja PDF