/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Geometryczny

Zadanie nr 6542183

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla n ≥ 1 , w którym √ -- a2 = 2 , a3 = 2 . Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa
A) √-15- 2−1 B) √ -- 6 + 7 2 C) √ -- 3 2 + 7 D) √ -- 7 + 7 2

Rozwiązanie

Liczymy iloraz ciągu

a3 2 √ -- q = ---= √---= 2. a2 2

Sposób I

Obliczamy sześć pierwszych wyrazów ciągu (a ) n .

a2- -a2- a1 = q = √ 2-= 1 √ -- a4 = a3q = 2 2 √ --√ -- a5 = a4q = 2√ 2⋅ 2 = 2⋅ 2 = 4 a6 = a5q = 4 2.

Stąd

a + a + a + a + a + a = 1 + √ 2-+ 2 + 2√ 2-+ 4 + 4√ 2-= 7+ 7 √ 2. 1 2 3 4 5 6

Sposób II

Korzystamy ze wzoru na sumę Sn kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego

6 √ --6 S = a ⋅ 1-−-q-= 1⋅ 1−--(√-2)--= -1-−√8--= 6 1 1− q 1 − 2 1 − 2 √ -- √ -- -- = -√--7(--2+√-1)-----= 7---2+--7 = 7√ 2 + 7. ( 2− 1)( 2+ 1) 2 − 1

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF