Zadanie nr 8850899

Boki równoległoboku ABCD mają długości 2 i 5, a jego dłuższa przekątna ma długość 6.

Pole tego równoległoboku jest równe
A) √ --- 39 B) 48 C) 48 √ 3- D) 3 √ 39- 2

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru Herona

∘ ----------------------- S = p(p − a )(p − b)(p− c)

na pole trójkąta o bokach a,b,c i połowie obwodu p = a+b+c- 2 . W trójkącie ABC mamy

2 + 5 + 6 13 p = ----2-----= 2-- ∘ ---(-------)-(--------)-(-------)-- 13- 13- 1-3 13- PABCD = 2PABC = 2 2 2 − 2 2 − 5 2 − 6 = ∘ ------------- 13 9 3 1 3 √ --- = 2 ---⋅--⋅--⋅--= -- 39. 2 2 2 2 2

Sposób II

Oznaczmy przez kąt rozwarty równoległoboku. Na mocy twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC mamy

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅ BC cos α 7 36 = 25+ 4− 20co sα ⇒ cosα = − --. 20

Stąd

-------- ---- ∘ ---------- ∘ 49 ∘ 351 3 √ --- sin α = 1− cos2α = 1 − ----= ----= --- 39 400 400 20

i pole równoległoboku jest równe

3 √ --- 3√ --- PABCD = AB ⋅BC sin α = 10⋅ --- 39 = -- 39 . 20 2

Odpowiedź: D