/Szkoła średnia/Funkcje/Wartość bezwględna

Zadanie nr 2912310

  • Narysuj wykresy funkcji y = ||x+ 3|− 2 | oraz y = − |x + 1| , gdzie x ∈ R .
  • Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie ||x + 3| − 2|+ |x + 1 | = m ma dokładnie dwa rozwiązania.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Aby narysować wykres pierwszej funkcji startujemy od prostej y = x + 3 i odbijamy część pod osią Ox do góry, otrzymujemy w ten sposób y = |x + 3| . Teraz przesuwamy ten wykres o 2 jednostki w dół (mamy y = |x+ 3|− 2 ) i ponownie odbijamy część poniżej osi Ox do góry.

    Aby naszkicować drugi wykres, rozpoczynamy od prostej y = x+ 1 i odbijamy część poniżej osi Ox do góry, otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji y = |x + 1| . Na koniec odbijamy cały wykres względem osi Ox .

    PIC

     
    Odpowiedź: Wykresy

  • O danym równaniu myślimy w postaci
    ||x+ 3|− 2| = − |x + 1|+ m,

    czyli pierwszy wykres stoi w miejscu, a drugi przesuwamy wzdłuż osi Oy . Jeżeli m < 0 to oba wykresy są rozłączne, a jeżeli m = 0 to mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeżeli m zaczyna być dodatnie, to wykresy mają dwa punkty wspólne, z wyjątkiem wartości m = 4 , kiedy to kawałki wykresów się pokrywają i dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zatem

    m ∈ (0,4)∪ (4,+ ∞ ).

     
    Odpowiedź: m ∈ (0 ,4)∪ (4,+ ∞ )

Wersja PDF