Zadanie nr 6437130
Funkcja określona jest wzorem
![||1 ( 11) || f(x ) = ||-(x + 2)2 x − --- || 3 2](https://img.zadania.info/zad/6437130/HzadT1x.gif)
dla każdego . Pochodna funkcji
w punkcie
jest równa 0. Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale
.
Rozwiązanie
Szkicujemy wykres funkcji . Zaczynamy od wielomianu
![1 ( 11 ) W (x) = --(x+ 2)2 x − --- 3 2](https://img.zadania.info/zad/6437130/HzadR1x.gif)
pod wartością bezwzględną – ponieważ jest jego podwójnym pierwiastkiem, wykres tego wielomianu jest styczny do osi
w tym punkcie. Na prawo od
, w przedziale
wielomian
ma minimum lokalne i wiemy w jakim jest ono punkcie – pochodna musi się tam zerować, więc jest to punkt
. Na prawo od
wielomian
jest już funkcją rosnącą i przecina oś
w punkcie
. Te informacje pozwalają dość dokładnie naszkicować wykres
, a więc też wykres
.
Powinno być teraz jasne, że funkcja maleje na przedziale
, potem rośnie w
i znowu maleje na przedziale
. Najmniejszą wartością funkcji
na przedziale
jest więc
, a największa wartość to
albo
. Liczymy obie te wartości, żeby ustalić która z nich jest większa.
![||1 ( 11) || 1 19 38 f(− 4) = ||--(−4 + 2)2 −4 − --- || = --⋅4 ⋅---= --- |3 ( ) 2| 3 2 3 |1 2 11 | 1 5 125 38 f(3) = ||--(3+ 2 ) 3− --- || = --⋅25 ⋅--= ----> ---. 3 2 3 2 6 3](https://img.zadania.info/zad/6437130/HzadR24x.gif)
Zbiorem wartości funkcji na przedziale
jest więc przedział
![[ 125] 0 ,---- . 6](https://img.zadania.info/zad/6437130/HzadR27x.gif)
Odpowiedź: