Zadanie nr 6437130

Funkcja określona jest wzorem

||1 ( 11) || f(x ) = ||-(x + 2)2 x − --- || 3 2

dla każdego x ∈ R . Pochodna funkcji w punkcie x = 3 jest równa 0. Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale [− 4,4] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy wykres funkcji . Zaczynamy od wielomianu

1 ( 11 ) W (x) = --(x+ 2)2 x − --- 3 2

pod wartością bezwzględną – ponieważ x = − 2 jest jego podwójnym pierwiastkiem, wykres tego wielomianu jest styczny do osi w tym punkcie. Na prawo od , w przedziale [ ] 11 − 2, 2 wielomian ma minimum lokalne i wiemy w jakim jest ono punkcie – pochodna musi się tam zerować, więc jest to punkt x = 3 . Na prawo od x = 3 wielomian jest już funkcją rosnącą i przecina oś w punkcie x = 11 2 . Te informacje pozwalają dość dokładnie naszkicować wykres y = W (x) , a więc też wykres y = f(x) = |W (x )| .

Powinno być teraz jasne, że funkcja maleje na przedziale [− 4,− 2] , potem rośnie w [− 2,3 ] i znowu maleje na przedziale [3,4] . Najmniejszą wartością funkcji na przedziale [− 4,4] jest więc f (− 2) = 0 , a największa wartość to f (−4 ) albo f(3 ) . Liczymy obie te wartości, żeby ustalić która z nich jest większa.