/Szkoła średnia/Funkcje/Wartość bezwględna

Zadanie nr 7071188

Funkcja g jest określona wzorem || 1 2 || g(x ) = |− 3x + 2x + 9| dla każdego x ∈ R . Fragment wykresu funkcji g w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

PIC

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja g przyjmuje w przedziale [2,11] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy jakie są miejsca zerowe funkcji g .

1 − -x2 + 2x + 9 = 0 / ⋅(− 3) 3 x2 − 6x − 27 = 0 2 Δ = 36+ 108 = 144 = 12 6-−-12- 6+--12- x1 = 2 = − 3, x2 = 2 = 9 .

Zatem

| | || 1- || g (x) = |− 3(x + 3 )(x− 9)|

Wierzchołek paraboli pod wartością bezwzględną znajduje się dokładnie w środku między pierwiastkami, czyli

−3 + 9 6 xw = --2----= 2-= 3.

To oznacza, że zarówno wierzchołek jak i większe miejsce zerowe paraboli znajduje się w interesującym nas przedziale [2,11] . Musimy więc ustalić, która z liczb: g(3) czy g(11) jest większa. Liczymy

|| 1 || || 1 || g(3) = ||− --(3+ 3)(3− 9)|| = ||− --⋅(− 36)|| = 12 | 3 | |3 | | 1- | | 1- | 28- g(11) = ||− 3 (11+ 3)(11 − 9)|| = ||− 3 ⋅28|| = 3 < 12 .

Zbiorem wartości funkcji g na przedziale [2,11] jest więc przedział

[0,g(3)] = [0,12].

 
Odpowiedź: [0,12]

Wersja PDF