/Szkoła średnia/Funkcje/Wartość bezwględna

Zadanie nr 9369732

Funkcja f określona jest wzorem

||1 ( 11) || f(x ) = ||-(x + 2)2 x − --- || 3 2

dla każdego x ∈ R . Pochodna funkcji f w punkcie x = 3 jest równa 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie f (x) = 1 + |m + 1 | 3 ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy wykres funkcji f . Zaczynamy od wielomianu

1 ( 11 ) W (x) = --(x+ 2)2 x − --- 3 2

pod wartością bezwzględną – ponieważ x = − 2 jest jego podwójnym pierwiastkiem, wykres tego wielomianu jest styczny do osi Ox w tym punkcie. Na prawo od x = − 2 , w przedziale [ ] 11 − 2, 2 wielomian W ma minimum lokalne i wiemy w jakim jest ono punkcie – pochodna musi się tam zerować, więc jest to punkt x = 3 . Na prawo od x = 3 wielomian W jest już funkcją rosnącą i przecina oś Ox w punkcie x = 11 2 . Te informacje pozwalają dość dokładnie naszkicować wykres y = W (x) , a więc też wykres y = f(x) = |W (x )| .

PIC

Widać teraz, że równanie f (x) = k ma cztery rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy k ∈ (0,f(3)) , gdzie f(3) jest wartością maksimum lokalnego funkcji f . Ponadto, jeżeli

0 < k < f(0),

to iloczyn pierwiastków jest dodatni (bo dwa są dodatnie i dwa ujemne), dla k = f(0) iloczyn pierwiastków jest równy 0, a dla

f(0) < k < f(3)

jeden pierwiastek jest ujemny, a trzy są dodatnie, czyli ich iloczyn jest ujemny. Ustalmy jeszcze jakie dokładnie są końce tych przedziałów.

| ( ) | f(0) = ||1-(0+ 2 )2 0− 11- || = 1-⋅4 ⋅ 11-= 22- |3 2 | 3 2 3 ||1 ( 11) || 1 5 125 f(3) = |--(3+ 2 )2 3− --- | = --⋅25 ⋅--= ----. |3 2 | 3 2 6

Pozostało więc rozwiązać nierówność

22 1 125 1 ---< --+ |m + 1| < ---- / − -- 3 3 6 3 7 < |m + 1 | < 123-= 41- 6 2 41 41 − 2--< m + 1 < − 7 lub 7 < m + 1 < 2-- − 43-< m < − 8 lub 6 < m < 39. 2 2

 
Odpowiedź: ( ) ( ) m ∈ − 432 ,− 8 ∪ 6 , 329 .

Wersja PDF