/Szkoła średnia/Funkcje/Wartość bezwględna

Zadanie nr 9810360

Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem ∘ ----------------- f(x ) = |x+ 3|− |x − 5| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli mamy do rozwiązania nierówność

|x + 3| − |x− 5| ≥ 0.

Sposób I

Jeżeli zapiszemy nierówność w postaci

|x + 3| ≥ |x − 5|

to obie strony są nieujemne i możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

(x + 3)2 ≥ (x − 5)2 2 2 x + 6x + 9 ≥ x − 1 0x+ 25 16x ≥ 16 x ≥ 1.

Sposób II

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną zeruje się dla x = − 3 , a wyrażenie pod drugą dla x = 5 . Mamy więc do rozpatrzenia 3 przypadki.

Jeżeli x ≥ 5 to mamy nierówność

x + 3 − (x − 5) ≥ 0 8 ≥ 0.

Nierówność jest oczywiście spełniona.

Jeżeli 5 > x ≥ − 3 to mamy nierówność

x + 3 + x − 5 ≥ 0 2x ≥ 2 x ≥ 1.

Mamy więc w tym przypadku x ∈ ⟨1,5 ) .

Jeżeli natomiast x < − 3 to mamy nierówność

− (x+ 3)+ (x− 5) ≥ 0 − 8 ≥ 0,

która jest sprzeczna.

Podsumowując, rozwiązaniem nierówności jest zbiór

⟨1,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: ⟨1,+ ∞ )

Wersja PDF