/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Kwadratowa

Zadanie nr 2153378

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jeśli wykres funkcji kwadratowej 2 f (x) = x + 3x + 2a jest styczny do prostej y = − 4 , to
A) a = 74 B) a = − 98 C) a = 9 4 D) a = − 7 8

Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej

( ) 2 ( ) f (x) = x2 + 3x + 2a = x + 3- + 2a − 9- . 2 4

Wykresem tej funkcji jest więc parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie ( ) − 3,2a − 9 2 4 . Jeżeli wykres tej funkcji jest styczny do prostej y = − 4 , to wierzchołek paraboli musi leżeć na tej prostej, tzn.

9 7 7 2a− --= − 4 ⇐ ⇒ 2a = − -- ⇐ ⇒ a = − --. 4 4 8

Sposób II

Wykres funkcji f jest styczny do prostej y = − 4 wtedy i tylko wtedy, gdy równanie

f(x) = − 4 x2 + 3x+ 2a = − 4 2 x + 3x+ 2a + 4 = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Aby tak było musi być spełniony warunek

0 = Δ = 9− 4(2a + 4) = − 7 − 8a / : 8 7 a = − --. 8

Sposób III

Wykresem funkcji f(x) = x 2 + 3x + 2a jest parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

3- xw = − 2.

Jeżeli wykres tej funkcji ma jeden punkt wspólny z prostą y = − 4 , to wierzchołek paraboli musi leżeć na tej prostej, tzn.

( 3) 9 9 − 4 = f − -- = --− --+ 2a 2 4 2 9- 7- 7- 2a = − 4 + 4 = − 4 ⇐ ⇒ a = − 8.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF