/Szkoła średnia/Zadania testowe/Równania/Wielomianowe

Zadanie nr 5047989

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = x + ax + bx − 1 , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Zatem
A) Jeżeli równanie W (x) = 0 ma pierwiastek wymierny, to a + b = 0 .
B) Jeżeli równanie W (x) = 0 ma ujemny pierwiastek całkowity, to a = b+ 2 .
C) Równanie W (x) = 0 może nie mieć rozwiązań.
D) Równanie W (x) = 0 musi mieć co najmniej 2 różne pierwiastki.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dane równanie nie musi mieć dwóch różnych pierwiastków, bo np. dla a = −3 i b = 3 mamy

W (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3.

Z drugiej strony, przynajmniej jeden pierwiastek równanie ma zawsze, bo

lim W (x ) = − ∞ i lim W (x) = +∞ . x→ −∞ x→ ∞

Jeżeli równanie ma pierwiastek wymierny x0 , to musi być on całkowity i musi to być dzielnik wyrazu wolnego, czyli x 0 = ± 1 . Mamy zatem

x0 = 1 ⇒ 1 + a + b − 1 = 0 ⇒ a+ b = 0 x = − 1 ⇒ − 1 + a− b− 1 = 0 ⇒ a = b+ 2. 0

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF