/Szkoła średnia/Zadania testowe/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3

Zadanie nr 4680920

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = x + ax + bx + 1 , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Zatem
A) Równanie W (x) = 0 musi mieć co najmniej 2 różne pierwiastki.
B) Jeżeli równanie W (x ) = 0 ma pierwiastek całkowity, to a + b = − 2 .
C) Jeżeli równanie W (x ) = 0 ma ujemny pierwiastek wymierny, to a = b .
D) Równanie W (x) = 0 może nie mieć rozwiązań.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dane równanie nie musi mieć dwóch różnych pierwiastków, bo np. dla a = b = 3 mamy

W (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3.

Z drugiej strony, przynajmniej jeden pierwiastek równanie ma zawsze, bo

lim W (x ) = − ∞ i lim W (x) = +∞ . x→ −∞ x→ ∞

Jeżeli równanie ma pierwiastek wymierny x0 , to musi być on całkowity i musi to być dzielnik wyrazu wolnego, czyli x 0 = ± 1 . Mamy zatem

x 0 = 1 ⇒ 1 + a+ b+ 1 = 0 ⇒ a + b = −2 x = − 1 ⇒ − 1+ a− b+ 1 = 0 ⇒ a = b. 0

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF