Zadanie nr 7054997

Dla jakich wartości parametru rozwiązaniem układu równań { 2x+ 3y = 4 4x+ my = 2m jest para liczb nieujemnych?

Rozwiązanie

Sposób I

Nie przejmujemy się parametrem i rozwiązujemy podany układ równań. Odejmujemy od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić ).

4x + my − 4x − 6y = 2m − 8 2m-−--8 (m − 6)y = 2m − 8 ⇒ y = m − 6 .

Z pierwszego równania układy obliczamy teraz .

4 − 3y 4 − 3 ⋅ 2mm−−86 m − 4 2m − 12 − 3m + 12 m x = ---2--- = ------2----- = 2 − 3 ⋅m-−--6 = -------m-−--6------ = − m-−-6-.

Oczywiście ten rachunek ma sens tylko jeżeli m ⁄= 6 .

Pozostało teraz rozwiązać nierówności

− --m---≥ 0 ∧ 2m--−-8 ≥ 0 m − 6 m − 6 m (m − 6) ≤ 0 ∧ 2(m − 4)(m − 6 ) ≥ 0 m ∈ ⟨0 ,6) ∧ m ∈ (− ∞ ,4⟩∪ (6,+ ∞ ) m ∈ ⟨0 ,4⟩.

Sposób II

Podany układ wygodnie jest rozwiązać metodą wyznacznikową

| | ||2 3 || W = |4 m | = 2m − 12 || || Wx = | 4 3 |= 4m − 6m = −2m |2m m | ||2 4 || Wy = || || = 4m − 16. 4 2m

Stąd

W − 2m m x = --x-= ---------= − ------ W 2m − 12 m − 6 Wy-- 4m-−--16- 2m-−-8- y = W = 2m − 12 = m − 6 .

Dalej rozwiązujemy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: m ∈ ⟨0,4⟩